[Nub]

Hola, otro ejercicio posteado en el foro

Hola, tengo el siguiente ejercicio:



Una cuña en triángulo rectángulo de masa M y ángulo θ (que soporta un pequeño bloque de masa m sobre su
lado) descansa sobre una mesa horizontal, como se muestra en la figura.
Suponga todos los contactos carentes de fricción.
a) ¿Qué aceleración horizontal a deberá tener M (y m) en relación a la mesa
para mantener a m estacionaria con respecto a la cuña? Ayuda: La fuerza
normal entre la cuña y la masa, ¿vale N = mg cos θ?
b) ¿Qué fuerza horizontal F deberá ser aplicada al sistema para obtener este resultado? 
c) Suponga que no se imprime fuerza alguna sobre M. Describa cualitativamente el movimiento resultante.

A) Cuando dice "¿Qué aceleración horizontal a deberá tener M en relación a la
mesa para mantener a la masa m estacionaria con respecto a la cuña?" Basicamente se me ocurre lo de movimiento relativo entonces ponemos un sistema absoluto \( S \) en la mesa y el sistema relativo \( S' \) en la cuña M, entonces \( r_m(t)=r_0(t)+r'_m(t)\Rightarrow{a_m(t)=a_0(t)+a'_m(t)} \) como dice que \( m \) debe estar estacionaria respecto a la cuña entonces \( a_m(t)=a_0(t)+0=a_0 \) luego \( a_m=a_{cuñaM} \)
¿Es esto lo que pide? hasta aca pude llegar básicamente nos dice que \( M \) y \( m \) deben tener el mismo vector aceleración , intentando buscar el modulo usando la 2da ley una duda que me genero es que yo al definir los sistemas de referencia S y S' son con los ejes en la misma direccion y sentido, pero ahora para proyectar las fuerzas mas facil podria elegir otros convenientemente ¿Esto me afectaria que \( a_m=a_M \) ? Otra cosa para añadir es que sobre \( M \) actua el peso, la normal de la mesa y la reacción de la normal de \( m \)

[Nub]

Otra duda, la aceleracion debe ser asi:

y no asi:

No?

Pues habia dicho que \( a_M=a_m \)

[feriva]

Otra duda, la aceleracion debe ser asi:

y no asi:

No?

La dirección de las fuerzas resultantes va sobre la cuña; luego, esas fuerzas tienen sus componentes, pero las resultantes van en dirección de la cuesta. Como no se mueve el bloque, significa que se anulan; por una parte el bloque cae y, por otra, la fuerza de rozamiento se opone en la misma medida, pero en sentido contrario.

Saludos.

[delmar]

Hola

Esos dibujos están incorrectos, ¿Como va acelerarse el bloque a la izquierda si las únicas fuerzas que se ejercen sobre el, son el peso (vertical)  y la normal y esta última  fuerza no tiene componente a la izquierda ?

Pero la conclusión de tu análisis es correcta ambos tienen la misma aceleración respecto a la mesa supuesta solidaria a tierra, si consideras una referencia XY solidaria a tierra, eje positivo de las X hacia la derecha, las aceleraciones se representan como \( x''_M\wedge x''_m \) respectivamente y se cumple \( x''_M = x''_m=a \). Aplicar la 2da ley a M y m.

A la cuña M

Ec 1 \( F-N sen \theta=Mx''_M=Ma \)   eje X, N es la fuerza normal que ejerce el bloque

\( -N cos \theta+N'=0 \)    eje Y, N' es la fuerza normal que ejerce la mesa

Al bloque m

\( N sen \theta=m x''_m=ma \)    eje X

\( N cos \theta-mg=0\Rightarrow{N=\displaystyle\frac{mg}{cos \theta}} \)    eje Y

Este resultado implica que \( a=g \ Tg \theta \) y sustituyendo en la Ec. 1 se obtiene que

\( F=g tg \theta (M+m) \)


Saludos

[Nub]

Esos dibujos están incorrectos, ¿Como va acelerarse el bloque a la izquierda si las únicas fuerzas que se ejercen sobre el, son el peso (vertical)  y la normal y esta última  fuerza no tiene componente a la izquierda ?

Esta mal el sentido, pero la dirección porque?

si consideras una referencia XY solidaria a tierra, eje positivo de las X hacia la derecha, las aceleraciones se representan como \( x''_M\wedge x''_m \) respectivamente y se cumple \( x''_M = x''_m=a \). Aplicar la 2da ley a M y m.

A la cuña M

Ec 1 \( F-N sen \theta=Mx''_M=Ma \)   eje X, N es la fuerza normal que ejerce el bloque

\( -N cos \theta+N'=0 \)    eje Y, N' es la fuerza normal que ejerce la mesa

Al bloque m

\( N sen \theta=m x''_m=ma \)    eje X

\( N cos \theta-mg=0\Rightarrow{N=\displaystyle\frac{mg}{cos \theta}} \)    eje Y

Este resultado implica que \( a=g \ Tg \theta \) y sustituyendo en la Ec. 1 se obtiene que

\( F=g tg \theta (M+m) \)


Saludos

Ese sistema de referencia XY tiene que ser el mismo para proyectar las fuerzas de cada objeto? ¿Porque no tuviste en cuenta el peso en la cuña? gracias

[delmar]

Es verdad no tuve en cuenta el peso de la cuña, me olvide,  corrijo la ecuación :

\( -N cos \theta+N'-Mg=0 \) eje Y

Esta ecuación no se usa para resolver en problema, por eso el resultado dado es el mismo.

Ha de estar bien claro que las aceleraciones son hacia la derecha, la situación descrita por el gráfico de abajo, es incorrecta por que ahí bloque y cuña tienen aceleraciones distintas (las aceleraciones son vectores), hay una aceleración relativa.

Respecto a que XY la referencia solidaria a la mesa y por ende a tierra ha de ser el mismo para todos los objetos. La segunda Ley de Newton en rigor se cumple  para las referencias inerciales, en este caso la solidaria a tierra.

Saludos

[Nub]

Respecto a que XY la referencia solidaria a la mesa y por ende a tierra ha de ser el mismo para todos los objetos. La segunda Ley de Newton en rigor se cumple  para las referencias inerciales, en este caso la solidaria a tierra.

No se si me entendiste, cuando en ejercicios hacia el diagrama de cuerpo libre, aveces era buena idea elegir un sistema de referencia que te ayude a no tener que proyectar tantos vectores o podes elegir uno que tengas que proyectar todos y tendrás que hacer bastante trigonométrica, para la cuña basta el sistema de ejes comun, pero para la masa podes girarlo un poco y que la normal coincida con el eje Y, lo que me preguntaba es que si en este caso eso de elegir conveniente mente para cada objeto y no uno para todos los objetos sirve, pues en un anterior post Richard me habia dicho que en esas cosas de movimiento relativo había que poner el sistema absoluto en la misma direccion que el sistema relativo pues sino tenias que hacer una rotación

[delmar]

Lo que dice Richard R Richard es lo usual y lo más conveniente las referencias móviles han de tener ejes paralelos a la referencia inercial; sin embargo si es posible considerar referencias móviles que no tengan ejes paralelos y ahí habrá como vectores coordenados \( \vec{i'},\vec{j'},\vec{k'} \) y cada uno de ellos tendrá su expresión en los vectores coordenados inerciales, esto puede complicar depende del problema en concreto.

Saludos

[Richard R Richard]

La solución propuesta por delmar es impecable y rápida,  la experiencia en resolver problemas similares, que siempre van incrementando la complejidad te dirá que sistema de referencia usar, uno paralelo al suelo u otro al plano inclinado.


Si tu haces bien el DCL podrás reducir la cantidad de proyecciones trigonométricas eligiendo el sistema de referencia donde la mayoría de las fuerzas y aceleraciones son paralelas o perpendiculares a los ejes coordenadas del sistema de referencia.

[Richard R Richard]

Me olvide de acotar algo sencillo pero importante, el problema tiene la misma respuesta, escojas el sistema de referencia que escojas. Si resuelves  de la.manera más corta o menos liosa mucho mejor.