[Eren]

Hola.

No estoy muy seguro si entendí. Valdría algo como esto?

\( f(x)=\begin{cases}{0}&\text{si}\textrm{ x es impar} \\x/2& \text{si}\textrm{ x es par}\end{cases} \)

Con \( x \in{\mathbb{N}} \).

Saludos.

No vale, por que, si bien la aplicación \[ f \] que defines es sobreyectiva, \[ f(x) = n \] sólo tiene infinidad de raíces para \[ n = 0 \] (si \[ n > 0 \], entonces \[ f(x) = n \] tiene a \[2n\] como única solución, ¿cierto?).

Si soy sincero, no entiendo nada jaja No acabo de entender qué se entiende por "infinitas raices de \( f(x) = n \)" (pensé que significaba simplemente que la aplicación tuviera infinitos 0 y fuera sobreyectiva a la vez  ).

El enunciado busca una función sobreyectiva tal que, sea cual sea el valor de n, la ecuación \[ f(x) =n \] tenga infinitas soluciones.

Debo estar torpe porque sigo sin entenderlo. Creo que no acabo de entender qué significa exactamente \(  f(x) = n \), o qué significa que esa ecuación tenga infinitas soluciones..

Saludos.

He editado el mensaje en el que te describo la aplicación que cumple las condiciones, y he agregado una nota con una gráfica que quizá te ayude a entender eso que preguntas.

[Luis Fuentes]

Hola

Debo estar torpe porque sigo sin entenderlo. Creo que no acabo de entender qué significa exactamente \(  f(x) = n \), o qué significa que esa ecuación tenga infinitas soluciones..

Que halla infinitos valores de \( x \) tales que \( f(x)=1 \).
También infinitos valores de \( x \) tales que \( f(x)=2 \).
También infinitos valores de \( x \) tales que \( f(x)=3 \).

Etcétara...

Ya han dado un ejemplo. Pero hay montones de formas de consturir ejemplos sencillos:

\( f(x)= \)nº de unos de la expresión decimal de \( x \)
\( f(x)= \)mayor exponente de un primo que divide a \( x \).
\( f(x)= \)nº de factores primos en que se descompone...

Por ejemplo en este caso:

\( f(x)= \)nº de unos de la expresión decimal de \( x \)

dado cualquier \( n \) si tomas los números:

\( x_k=\underbrace{11\ldots 1}_{n\textsf{ veces}}\underbrace{00\ldots 0}_{k\textsf{ veces}} \)

para cualquier \( k\in \Bbb N \) todos ellos cumplen \( f(x_k)=n \).

Saludos.

[Pie]

Ok, ya entendi. Gracias chicos (casi parece que preguntaba yo, aunque supongo que estas aclaraciones no le vienen mal al autor del hilo ).

Saludos.

[geómetracat]

Una curiosidad. Este problema es equivalente al de encontrar una partición de \( \Bbb N \) en infinitos conjuntos infinitos, que ya ha salido alguna vez en el foro, y para el que hay muchas soluciones distintas.

Dada una función \( f \) en las condiciones del enunciado, los conjuntos \( f^{-1}(n) \) forman una partición de \( \Bbb N \) en infinitos conjuntos infinitos. Y viceversa, si tenemos una partición de \( \Bbb N \) en infinitos conjuntos infinitos, \( P_0,P_1,\dots \), la función definida por \( f(n)=i \) si \( n\in P_i \) cumple las condiciones del problema.

[Eren]

Una curiosidad. Este problema es equivalente al de encontrar una partición de \( \Bbb N \) en infinitos conjuntos infinitos, que ya ha salido alguna vez en el foro, y para el que hay muchas soluciones distintas.

Dada una función \( f \) en las condiciones del enunciado, los conjuntos \( f^{-1}(n) \) forman una partición de \( \Bbb N \) en infinitos conjuntos infinitos. Y viceversa, si tenemos una partición de \( \Bbb N \) en infinitos conjuntos infinitos, \( P_0,P_1,\dots \), la función definida por \( f(n)=i \) si \( n\in P_i \) cumple las condiciones del problema.

No fui yo quien inició el hilo, pero te agradezco el comentario, geómetracat, por que le da bastante claridad al asunto. Veo que mi ejemplo (y el de martiniano) equivale a la partición
\[
\begin{align*}
P_0 &= \{0\}\\
P_1 &= \{1,2\}\\
P_2 &= \{3,4,5\}\\
P_3 &= \{6,7,8,9\}\\
P_4 &= \{10,11,12,13,14\}\\
        &\vdots
\end{align*}
\]

Corrección: Me he dado cuenta de que algo no ha de estar bien en mi construcción de la partición, por que no involucra conjuntos infinitos.

Actualización: Ya lo he descubierto. Los conjuntos de la partición son las columnas del arreglo de arriba (por ejemplo, \[ P_0 = \{ 0, 1, 3,6,10,\ldots \} \]

[Luis Fuentes]

Hola

No fui yo quien inició el hilo, pero te agradezco el comentario, geómetracat, por que le da bastante claridad al asunto. Veo que mi ejemplo (y el de martiniano) equivale a la partición
\[
\begin{align*}
P_0 &= \{0\}\\
P_1 &= \{1,2\}\\
P_2 &= \{3,4,5\}\\
P_3 &= \{6,7,8,9\}\\
P_4 &= \{10,11,12,13,14\}\\
        &\vdots
\end{align*}
\]

No, Ojo. Son particiones en subconjuntos INFINITOS.

Si habéis definido esta secuencia de imágenes.

\( (0, {\color{blue}0, 1,\color{green} 0, 1, 2, \color{blue}0, 1, 2, 3, \color{green}0, 1, 2, 3, 4, \color{blue}0, 1, 2, 3, 4, 5}, {\color{green}0, 1,  2, 3, 4, 5, 6},\ldots) \)

Sería:

\( P_0=\{0,1,3,6,10,15,\ldots\} \) (las posiciones donde está en \( 0 \))
\( P_1=\{2,4,7,11,16,\ldots\} \) (las posiciones donde está en \( 1 \))
\( P_2=\{5,8,12,17,\ldots\} \) (las posiciones donde está en \( 2  \))

etcétera...

Saludos.

[Eren]

Hola

No fui yo quien inició el hilo, pero te agradezco el comentario, geómetracat, por que le da bastante claridad al asunto. Veo que mi ejemplo (y el de martiniano) equivale a la partición
\[
\begin{align*}
P_0 &= \{0\}\\
P_1 &= \{1,2\}\\
P_2 &= \{3,4,5\}\\
P_3 &= \{6,7,8,9\}\\
P_4 &= \{10,11,12,13,14\}\\
        &\vdots
\end{align*}
\]

No, Ojo. Son particiones en subconjuntos INFINITOS.

Si habéis definido esta secuencia de imágenes.

\( (0, {\color{blue}0, 1,\color{green} 0, 1, 2, \color{blue}0, 1, 2, 3, \color{green}0, 1, 2, 3, 4, \color{blue}0, 1, 2, 3, 4, 5}, {\color{green}0, 1,  2, 3, 4, 5, 6},\ldots) \)

Sería:

\( P_0=\{0,1,3,6,10,15,\ldots\} \) (las posiciones donde está en \( 0 \))
\( P_1=\{2,4,7,11,16,\ldots\} \) (las posiciones donde está en \( 1 \))
\( P_2=\{5,8,12,17,\ldots\} \) (las posiciones donde está en \( 2  \))

etcétera...

Saludos.

Cierto, cierto. Justo acabo de editar el mensaje para comentar sobre el error, jeje. Muchas gracias, Luis.

[zorropardo]

Hola, gracias por las respuestas. Otro ejemplo siguiendo la sugerencia, puede ser:
  Defino $$f : \mathbb{N} \longrightarrow{ \mathbb{N}}$$ tal que $$f(n)=2^{a}.b$$ con $$a,b \in \mathbb{N}$$ y $$b$$ impar. Esta bien asi o esta faltando alguna cosa 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, gracias por las respuestas. Otro ejemplo siguiendo la sugerencia, puede ser:
  Defino $$f : \mathbb{N} \longrightarrow{ \mathbb{N}}$$ tal que $$f(n)=2^{a}.b$$ con $$a,b \in \mathbb{N}$$ y $$b$$ impar. Esta bien asi o esta faltando alguna cosa 

No, así no está bien. Analiza lo que has escrito. ¿Realmente está definiendo una aplicación ahí?. ¿Cuánto se supone que vale \( f(10) \) o \( f(20) \)? No explicas que tienen que ver \( a,b \) con \( n \).

Quizá querrías hacer algo así. Dado cualquier \( n\in \Bbb N \) no nulo puede escribirse de manera única como:

\( n=2^a\cdot b \), con \( b \) impar, \( a\geq 0 \) naturales

Ahora, por ejemplo, puedes definir \( f(n)=a \).

Saludos.

[zorropardo]

Tienes razón,muy agradecido.