Probar que dado una formula de logica proposicional, y solo usando el símbolo \( \Leftrightarrow{} \) es una tautología si y solo si el numero de apariciones de cada variable en la proposición es un numero par.

Pensé en construir una table de la verdad pero claro no es un razonamiento muy valido al no saber el numero de variables, si alguien puede orientarme en como demostrarlo se lo agradecería!

Utiliza que \( 2^{\sqrt[ ]{n}}=e^{\sqrt[ ]{n}log2}>\sqrt[ ]{n} log2>M  \)para un cierto número natural, te dejo a ti descubrir que \( n_0 \) tienes que coger.

Ya que una función exponencial a partir de un número natural será mayor que n, es decir, \( e^x>x \) a partir de un número, puedes utilizar que la exponencial crece más rápido que un polinomio.

Tampoco queda tan feo creo:

aplicando integración por partes es igual a:

\( \displaystyle\frac{x(x-1)^a}{(a+1)}-\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{(x-1)^{a+1}}{(a+1)}dx \) y la integral del final es igual:

\( \displaystyle\frac{(x-1)^{a+2}}{(a+1)(a+2)}
 \)

Mm la definición que acostumbro a ver es la segunda, de todas formas si me dices lo que significa el producto en i de \( (x,y) \) ya que eso que yo vea no depende de i

https://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano

Mira esto en funciónes vectoriales.

Si tienes un numero finito de términos siempre los puedes acotar buscando el máximo de todos ellos, y haciendo una bola de radio, ese máximo.

Una traslación es como muy bien indica el nombre una traslación del número complejo, si lo imaginas isomorfo a \( \mathbb{R}^2 \) con la suma de vectores componente a componente se ve muy bien, y una rotohomotecia es una rotación del número complejo, dado por la suma de sus ángulos, mas una homotecia dada por la multiplicación de sus módulos. Si te escribes algunos ejemplos te vendrá bien.

\perp{}Si sabes aplicar el criterio de Stolz con \( b_n=n \) que es monótona creciente y diverge a infinito, luego si aplicamos el logaritmo a ambos lados:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{log(x_i)}}{n}} \)
aquí aplico las propiedades del logaritmo, si no ves algún paso me dices, y aplico el criterio de Stolz:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{log(x_i)}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}{log(x_i)}}{-1}} \)

entonces

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{log(x_{n+1})}{1}}=log (l) \) porque como \( x_n \) tiende a l, (también lo hace \( x_{n+1} \)) ese límite tiende a l, el logaritmo del límite tiende al logarítmo de l, luego está demostrado ya.

No esperes que en una ingeniería te enseñen esas demostraciones, si quieres demostraciones vete a Matemáticas pero cuidado, al principio gustan pero puede que te canses de ser tan formalista.

Y otra cosa, si el determinante de la matriz da cero puede ser sistema incompatible piensa:

\( x+y=0,
x+y=1 \)

Y tampoco se llama Regla de Cramer, la regla de Cramer te da la solución, lo que tu te refieres es al Teorema de Rouché-Frobenius

Si perdon me equivoqué, a lo que quería llegar es que solo se puede escribir como un ciclo de orden 9.

Porqué \( S_9 \), tiene un único elemento de orden 9, pues porque toda permutación se puede poner como ciclos disjuntos, es un pequeño teorema, entonces la única forma de poner 9 como mcm de dos cosas es como 9=mcm(9,1) por lo que el único elemento de orden 9 es:

\( (1 2 3 4 5 6 7 8 9) \)