Hola buenas, en la pág 92 que adjunto tengo una duda acerca de:
"Además, la serie converge uniformemente en \( C(a,r)^* \), ya que la serie geométrica converge uniformemente en cada compacto contenido en \( D(0,1) \)".
Mi duda es la siguiente; el hecho de que converge uniformemente en cada compacto contenido en \( D(0,1) \) se debe al Teorema de Weirestrass sobre la convergencia uniforme y absoluta, pero al hacer el test \( \displaystyle\sum_{n=0}{z^n} \) tiene sentido para \( |z|<1 \), luego ¿cómo se deduce la convergencia uniforme en \( C(a,r)^* \) si en la frontera del disco no tenemos ningún criterio acerca de su convergencia?
Saludos 
Te dicen que \( |z-a|/r<1 \) y que
\( \displaystyle{
\left|\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}\right|=\frac1{r}\left(\frac{|z-a|}{r}\right)^n
} \)
Por tanto la serie \( \sum_{k\geqslant 0}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}} \) converge uniformemente en \( z \) para todo compacto \( \overline{D}(a,s) \) con \( s<r \). Ahora bien, en el texto no se especifica ni que es \( C(a,r) \) ni que es \( C(a,r)^* \).
Si \( C(a,r)^* \) es la frontera del disco \( D(a,r) \) entonces quizá se refiera a que la serie converja uniformemente en \( w \), es decir, que definiendo
\( \displaystyle{
f(z,w):=\sum_{k\geqslant 0}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}
} \)
entonces se puede decir que \( f \) converge uniformemente en todo compacto \( \overline{D}(a,s)\times C(a,r)^* \), para cualquier \( s\in(0,r) \).
