Autor Tema: Duda sobre Convergencia en la frontera.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

16 Diciembre, 2019, 12:14 am
Leído 367 veces

latex

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 259
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola buenas, en la pág 92 que adjunto tengo una duda acerca de:

"Además, la serie converge uniformemente en \( C(a,r)^* \), ya que la serie geométrica converge uniformemente en cada compacto contenido en \( D(0,1) \)".

    Mi duda es la siguiente; el hecho de que converge uniformemente en cada compacto contenido en \( D(0,1) \) se debe al Teorema de Weirestrass sobre la convergencia uniforme y absoluta, pero al hacer el test \( \displaystyle\sum_{n=0}{z^n} \) tiene sentido para \( |z|<1 \), luego ¿cómo se deduce la convergencia uniforme en \( C(a,r)^* \) si en la frontera del disco no tenemos ningún criterio acerca de su convergencia?

Saludos :)

16 Diciembre, 2019, 01:49 am
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,378
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola buenas, en la pág 92 que adjunto tengo una duda acerca de:

"Además, la serie converge uniformemente en \( C(a,r)^* \), ya que la serie geométrica converge uniformemente en cada compacto contenido en \( D(0,1) \)".

    Mi duda es la siguiente; el hecho de que converge uniformemente en cada compacto contenido en \( D(0,1) \) se debe al Teorema de Weirestrass sobre la convergencia uniforme y absoluta, pero al hacer el test \( \displaystyle\sum_{n=0}{z^n} \) tiene sentido para \( |z|<1 \), luego ¿cómo se deduce la convergencia uniforme en \( C(a,r)^* \) si en la frontera del disco no tenemos ningún criterio acerca de su convergencia?

Saludos :)

Te dicen que \( |z-a|/r<1 \) y que

\( \displaystyle{
\left|\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}\right|=\frac1{r}\left(\frac{|z-a|}{r}\right)^n
} \)

Por tanto la serie \( \sum_{k\geqslant 0}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}} \) converge uniformemente en \( z \) para todo compacto \( \overline{D}(a,s) \) con \( s<r \). Ahora bien, en el texto no se especifica ni que es \( C(a,r) \) ni que es \( C(a,r)^* \).

Si \( C(a,r)^* \) es la frontera del disco \( D(a,r) \) entonces quizá se refiera a que la serie converja uniformemente en \( w \), es decir, que definiendo

\( \displaystyle{
f(z,w):=\sum_{k\geqslant 0}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}
} \)

entonces se puede decir que \( f \) converge uniformemente en todo compacto \( \overline{D}(a,s)\times C(a,r)^* \), para cualquier \( s\in(0,r) \).

16 Diciembre, 2019, 10:23 pm
Respuesta #2

latex

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 259
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Entendido!, no estaba interpretando correctamente que la acción de la continuidad uniforme era aplicada a la variable \( w \) que se mueve en la circunferencia de centro \( a \) y radio \( r \) en vez de \( z\in D(0,1) \)

Muchas gracias :)

Saludos.