Este es un ejercicio que me ha parecido muy interesante repasando algo de topología.
Enunciado.Sean \( d(x,y) = |x-y| \) y \( d_*(x,y) = \text{min}(|x-y|, 1-|x-y|) \) distancias en \( X = [0,1) \) (que el lector animado adjunte en un comentario bajo este hilo la prueba de que realmente son distancias). i) Sea \( f(x) = x \) definida como \( f : (X,d) \to (\mathbb{R},d) \). Demostrad que \( f \) es continua. ii) Sea ahora \( f(x) = x \) definida como \( f:(X,d_*) \to (\mathbb{R},d) \). ¿Es \( f \) continua en \( a = 0 \)? _____
Solución.i) Es cuasitrivial, basta recurrir a las múltiples definiciones de continuidad y aplicarla tal cual.
ii) Este es más interesante. Para
intuir si la función es continua o no, podemos estudiar la métrica sobre la que está definida. Observemos que para la distancia \( d_* \) en \( [0,1) \) los números \( 0,999999 \)... están muy próximos a los de la forma \( 0.000000 \)... (o de forma más concreta, la \( B(0,\epsilon) \) tiene puntos cerca del \( 0 \) y del \( 1 \), con lo que las imágenes de esos puntos están en conjuntos distintos) lo que sugiere que hay una discontintuidad, y que por tanto no es continua. En efecto, empecemos fijándonos en que las bolas son de la forma \( [0,r) \) y además \( (1-r,1) \)con \( r>0 \).
La idea consiste en comprobar que \( \forall \ \delta > 0 \ \exists x \in X : d_*(x,0) < \delta \) pero \( d(x,0) \geq \epsilon \). En particular, sea \( \epsilon = 0,1 \). Veamos que \( \nexists \delta : f (B(0,\delta)) \subset f(B,(0,0.1)) \). Si Cogemos \( x \in (1-\delta, 1) \cap [0,1, 1) \) se tiene que \( d_* (x,0) < \delta \) pero \( d(x,0) = |x-0| = |x| \geq 0.1 \) Luego \( f \) no es continua.
Un comentario del autor del artículo donde vi esto decía: 'Desde luego que \( 0,1 \) no tiene poderes mágicos, cualquier otro número pequeño habría sido válido en la demostración'
. Esta distancia a mí personalmente me resulta curiosa. Por ejemplo, es bien conocida la función de Dirichlet por no ser precisamente continua. De forma más precisa, sea
\( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q} \\0 & \text{si } x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{cases} \) Bajo la distancia usual \( x_n = \sqrt{2}/n \to x = 0 \) pero \( f(x_n) = 0 \not \to f(x) = 1 \) luego \( f \) no es continua en \( 0 \) (ni en ningún otro punto).
Sin embargo, si le definimos ahora la siguiente distancia:
\( d(x,y)= \begin{cases} |x-y| \ & \text{si }& x-y \in \mathbb{Q} \\ 1 + |x-y| & \text{si}& x-y \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\end{cases} \)
entonces ahora \( x_n \cancel{\to}0 \). Como toda sucesión \( x_n \to 0 \) debe ser racional a partir de cierto término \( f \) debe ser continua en cero, y lo mismo se aplica en el resto de puntos (sería interesante que intentarais aportar un comentario con una demostración formal de este hecho, y si alguien lo intenta y no le sale que lo comente que aporto la mía). Entonces, ¿La función de Dirichlet es continua o no?
Pd: otro comentario que me pareció genial de este autor es: 'Si realmente hubiera justicia en el mundo, debiera tenerse, para funciones integrables, \( \displaystyle \lim_{n \to \infty}{\int_0^1 f_n} = \int_0^1 f \)
Saludos.
