Enunciado.
Demostrar que una función lineal \( f:\mathbb{E}^3 \to \mathbb{E}^3 \) es biyectiva si, y sólo si las imagénes de una base son linealmente independientes. ____
Demostración.\( \Leftarrow{)} \)
Supongamos que las imagénes de una base son linealmente independientes (L.I), así: sea \( ({\bf{e}}_1,{\bf{e}}_2, {\bf{e}}_3) \) una base y \( {\bf{f}} \) una función lineal de \( \mathbb{E}^3 \) en \( \mathbb{E}^3 \) tal que \( {\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3) \) son L.I. Entonces \( {\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3) \)también es una base y cualquier vector \( {\bf{v}} \) puede escribirse como \( {\bf{v}}=v_1{\bf{f}}({\bf{e}}_1) +v_2 {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + v_3 {\bf{f}}({\bf{e}}_3) \).
Definamos ahora \( {\bf{u}}=v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3 \). Entonces
\( {\bf{f}}({\bf{u}}) = {\bf{f}}(v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3) = v_1{\bf{f}}({\bf{e}}_1) +v_2 {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + v_3 {\bf{f}}({\bf{e}}_3) = {\bf{v}} \)
luego \( {\bf{f}} \) es sobreyectiva respecto de \( \mathbb{E}^3 \). Supongamos, ahora, que \( {\bf{f}}({\bf{a}}) = {\bf{f}}({\bf{a}}') \). Entonces
\( \begin{align*} {\bf{0}}&= {\bf{f}}({\bf{a}}') - {\bf{f}}({\bf{a}}) = {\bf{f}}({\bf{a}}' - {\bf{a}}) = {\bf{f}}((a_1'-a_1){\bf{e}}_1 + (a_2' - a_2){\bf{e}}_2 + (a_3'-a_3){\bf{e}}_3) \\ &= (a_1'-a_1){\bf{f}}({\bf{e}}_1) +(a_2'-a_2) {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + (a_3'-a_3) {\bf{f}}({\bf{e}}_3)\end{align*}
\)
y, como \( {\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3) \) son L.I, se deduce que \( (a_1'-a_1) = 0, \, (a_2'-a_2) = 0, \, (a_3'-a_3) = 0 \), de manera que \( {\bf{a'}} = {\bf{a}} \) y así \( {\bf{f}} \) es inyectiva. Por tanto \( {\bf{f}} \) es biyectiva.
\( \Rightarrow{)} \)
Recíprocamente, si \( {\bf{f}} \) es inyectiva, entonces \( {\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3) \) deben ser independientes, pues si no lo son, existirían valores \( v_1,v_2,v_3 \) no todos nulos y con ellos un \( {\bf{v}} =v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3 \neq \bf{0} \), tales que
\( {\bf{0}} = v_1{\bf{f}}({\bf{e}}_1) +v_2 {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + v_3 {\bf{f}}({\bf{e}}_3) = {\bf{f}}(v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3) = {\bf{f}}({\bf{v}}) \)
pero, por ser \( {\bf{f}} \) lineal también se tiene que \( {\bf{f}}({\bf{0}}) = {\bf{0}} \) lo cual resulta absurdo pues hemos supuesto que \( {\bf{f}} \) es inyectiva.
\( \square \)
