[Luis Fuentes]

Hola

Sean estas expresiones:

[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(c-1)·c·(c+1)[/texx] (*);

La única solución que cumple con la ecuación es:

[texx] 3·4·5+3·4·5=4·5·6[/texx].

Quizás sea la única solución a (*). ¿Cierto?

Primero afirmas que es la única solución. Luego dices que quizá lo sea...

En cualquier caso. No. Hay más soluciones. Por ejemplo:

\( 8\cdot 9\cdot 10+14\cdot 15\cdot 16=15\cdot 16\cdot 17 \)

Desde otra perspectiva:

[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)[/texx];

[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)+a+b=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] (**) (UTF);

[texx] c=a+b [/texx]   ó  [texx] d^3·c=a+b[/texx];

Aquí ya me pierdo; no se que a que viene invocar el Teorema de Fermat ni de donde salen esas dos opciones.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)[/texx].
La igualdad la obtengo de wolfram.

Luis invoco el UTF porque es la suma de tres potencias todas ellas de grado 3. Que es la siguiente ecuación.

[texx] (a-1)·a·(a+1)+a+(b-1)·b·(b+1)+b=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] (**) (UTF n=3);

En referencia a los dos casos, estoy suponiendo que [texx] (a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] es igual a una potencia de grado 3.

[texx] c=a+b [/texx]   ó  [texx] d^3·c=a+b[/texx];

Aunque [texx] a+b[/texx], ¿puede adoptar mas valores? Si se supone que [texx] (a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] es una potencia de grado 3. ¿Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)[/texx].
La igualdad la obtengo de wolfram.

Si. Sobre eso no había ninguna crítica. Y sólo hay que hacer las cuentas. Sin Wolfram.

Luis invoco el UTF porque es la suma de tres potencias todas ellas de grado 3. Que es la siguiente ecuación.

[texx] (a-1)·a·(a+1)+a+(b-1)·b·(b+1)+b=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] (**) (UTF n=3);

En referencia a los dos casos, estoy suponiendo que [texx] (a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] es igual a una potencia de grado 3.

Pues en vez de poner "UTF" deberías de decir "supongamos que [texx] (a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b=a^3+b^3[/texx]  es una potencia de grado \( 3 \): \( a^3+b^3=c^3 \)"

Y además la disquisición anterior no aporta nada. Directamente podrías partir de \( a^3+b^3=c^3 \) y en todo caso factorizar \( a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). \)

[texx] c=a+b [/texx]   ó  [texx] d^3·c=a+b[/texx];

Aunque [texx] a+b[/texx], ¿puede adoptar mas valores? Si se supone que [texx] (a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] es una potencia de grado 3. ¿Cierto?

No se deduce eso que marqué en rojo, en absoluto.

Tienes que:

\( c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)((a+b)^2-3ab) \)

supuestos \( a,b,c \) coprimos (como es usual cuando uno estudia el UTF), el único factor común posible de \( (a+b) \) y \( ((a+b^2)-3ab) \) es \( 3 \) y en concreto:

\( a+b=3^{3k-1}p^3 \)
\( (a+b)^2-3ab=3q^3 \)
\( c=3pq \).

con \( p,q \) coprimos ninguno múltiplo de \( 3 \).

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Sea esta expresión:

[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-a·b + b^2) [/texx];

[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-a·b + b^2-x+x) [/texx];

[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-a·b + b^2-x)+(a+b)x [/texx];

Suposición [texx] c=(a+b)x[/texx]    y     [texx]  (c-1)c(c+1)=((a + b) x - 1) ((a + b) x) ((a + b) x + 1)[/texx] *.

¿Es correcta?

Si es correcta, de *, wolfram, despeje de [texx] x = (a^2 - a b + b^2)^{1/3}/((a + b)^2)^{1/3}[/texx].

 El denominador es mayor que el numerador, en consecuencia x no es un número entero. ¿Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea esta expresión:

[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-a·b + b^2) [/texx];

[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-a·b + b^2-x+x) [/texx];

[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-a·b + b^2-x)+(a+b)x [/texx];

Suposición [texx] c=(a+b)x[/texx]    y     [texx]  (c-1)c(c+1)=((a + b) x - 1) ((a + b) x) ((a + b) x + 1)[/texx] *.

¿Es correcta?

Si es correcta, de *, wolfram, despeje de [texx] x = (a^2 - a b + b^2)^{1/3}/((a + b)^2)^{1/3}[/texx].

 El denominador es mayor que el numerador, en consecuencia x no es un número entero. ¿Cierto?

No logro entender EXACTAMENTE de qué ecuación has despejado para obtener:

[texx] x = (a^2 - a b + b^2)^{1/3}/((a + b)^2)^{1/3}[/texx]

Si fuese de aquí:

 [texx]  (c-1)c(c+1)=((a + b) x - 1) ((a + b) x) ((a + b) x + 1)[/texx]

te quedaría en función de \( c \).

Saludos.

P.D. Añadido:

[texx] x = (a^2 - a b + b^2)^{1/3}/((a + b)^2)^{1/3}[/texx]

equivale a:

\( x^3=\dfrac{a^2-ab+b^2}{(a+b)^2}=\dfrac{a^3+b^3}{(a+b)^3} \)

Y si... ese número no es entero... pero es que no se que interés tiene esto... Y sigo sin saber que tiene que ver con las ecuaciones que habías escrito.

[Gonzo]

Hola.

La x la obtengo del enlace adjunto.

https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=%5C%2840%29a%2Bb%5C%2841%29%5C%2840%29Power%5Ba%2C2%5D-a%C2%B7b+%2B+Power%5Bb%2C2%5D-x%5C%2841%29%3D%5C%2840%29%5C%2840%29a%2Bb%5C%2841%29x%5C%2841%29%5C%2840%29%5C%2840%29c%5C%2841%29x-1%5C%2841%29%5C%2840%29%5C%2840%29c%5C%2841%29x%2B1%5C%2841%29+%3B+c%3D%5C%2840%29a%2Bb%5C%2841%29&lang=es

[texx]a^3 + b^3 = (a + b) c^2 x^3, a + b = c [/texx].

Si x no es entero [texx]a^3 + b^3 = c^3 x^3, a + b = c [/texx], entonces no hay entero que cumpla para dicha ecuación, ¿cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

[texx]a^3 + b^3 = (a + b) c^2 x^3, a + b = c [/texx].

Si \( x \) no es entero [texx]a^3 + b^3 = c^3 x^3, a + b = c [/texx], entonces no hay entero que cumpla para dicha ecuación, ¿cierto?

Cierto. Pero es es inmediato. Si todos los números implicados son enteros positivos:

\( x^3c^3\geq c^3=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)>a^3+b^3 \)

NO se puede dar la igualdad.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] a^3+b^3= 3^3·p^3·q^3[/texx];
[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2-1) + a + b = 3^3·p^3·q^3[/texx];

[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2-1)+x + a + b -x= (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)+ 3·p·q[/texx];

[texx] (a+b)(a^2-ab+b^2-1)+x =(3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1); a + b -x= 3·p·q[/texx].

Despeje de x.
[texx] x =(3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b)(a^2-ab+b^2-1); x= -3·p·q + a + b[/texx].

[texx] (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b)(a^2-ab+b^2-1)≠-3·p·q + a + b[/texx]. Contradicción.
¿Cierto?

[texx] (a+b)^3=a^3+p^3·q^3[/texx];
[texx] (a+b)^3=a^3+3·a·b·(a+b)+b^3=a^3+b·(3·a·(a+b)+b^2)[/texx];

[texx] b·(3·a·(a+b)+b^2-1+1)=b·(3·a·(a+b)+b^2-1)+b=(p·q)(p·q-1)(p·q+1)+ p·q[/texx];

[texx]b-x=p·q; b·(3·a·(a+b)+b^2-1)+x= (p·q)(p·q-1)(p·q+1)[/texx];

Despeje de x.
[texx]x=-p·q +b; x= (p·q)(p·q-1)(p·q+1)-b·(3·a·(a+b)+b^2-1)[/texx];

[texx]-p·q +b≠(p·q)(p·q-1)(p·q+1)-b·(3·a·(a+b)+b^2-1)[/texx]. Contradicción.
¿Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

[texx] a^3+b^3= 3^3·p^3·q^3[/texx];
[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2-1) + a + b = 3^3·p^3·q^3[/texx];

[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2-1)+x + a + b -x= (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)+ 3·p·q[/texx];

[texx] (a+b)(a^2-ab+b^2-1)+x =(3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1); a + b -x= 3·p·q[/texx].

Despeje de x.
[texx] x =(3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b)(a^2-ab+b^2-1); x= -3·p·q + a + b[/texx].

[texx] (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b)(a^2-ab+b^2-1)≠-3·p·q + a + b[/texx]. Contradicción.
¿Cierto?

¿Contradicción, por qué?. ¿Dónde está la contradicción?. No la veo, a priori.

Si tanto rollo lo único que haces es partir de \( a^3+b^3=c^3 \), que equivale a:

\( (a+b)(a^2-ab+b^2)=c(c-1)(c+1)+c \)
\( (a+b)(a^2-ab+b^2-1)+(a+b)=c(c-1)(c+1)+c \)

De donde:

\( c(c-1)(c+1)-(a+b)(a^2-ab+b^2-1)=(a+b)-c \)

y tu llamas \( x=(a+b)-c \).

¿Qué problema hay?.

[texx] (a+b)^3=a^3+p^3·q^3[/texx];
[texx] (a+b)^3=a^3+3·a·b·(a+b)+b^3=a^3+b·(3·a·(a+b)+b^2)[/texx];

[texx] b·(3·a·(a+b)+b^2-1+1)=b·(3·a·(a+b)+b^2-1)+b=(p·q)(p·q-1)(p·q+1)+ p·q[/texx];

[texx]b-x=p·q; b·(3·a·(a+b)+b^2-1)+x= (p·q)(p·q-1)(p·q+1)[/texx];

Despeje de x.
[texx]x=-p·q +b; x= (p·q)(p·q-1)(p·q+1)-b·(3·a·(a+b)+b^2-1)[/texx];

[texx]-p·q +b≠(p·q)(p·q-1)(p·q+1)-b·(3·a·(a+b)+b^2-1)[/texx]. Contradicción.
¿Cierto?

Esto es análogo. ¿Dónde está la contradicción?. ¿En qué se basa?.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

¿Que problema hay?

La x. Si todas las variables son enteras, la x, adopta dos valores distintos.

[texx] a^3+b^3= 3^3·p^3·q^3[/texx] *;
[texx] x =(3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b-1)(a^2-ab+b^2); x= -3·p·q + a^2-ab+b^2[/texx].

[texx] (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b-1)(a^2-ab+b^2)≠-3·p·q + a^2-ab+b^2[/texx].

[texx] (3·p·q)·z-k·(a^2-ab+b^2)≠-3·p·q + a^2-ab+b^2[/texx].

Para satisfacer la ecuación *, todas las variables deben ser enteras y la x, solo debe adoptar un único valor [texx] (3·p·q)·z-k·(a^2-ab+b^2) [/texx].ó [texx]-3·p·q + a^2-ab+b^2[/texx]. Siendo ambos valores distintos. Es decir [texx] t·w = t[/texx]. Esa afirmación es falsa si w es distinta de 1 ¿cierto?

Atentamente.