Hola
Hola.
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)[/texx].
La igualdad la obtengo de wolfram.
Si. Sobre eso no había ninguna crítica. Y sólo hay que hacer las cuentas. Sin Wolfram.
Luis invoco el UTF porque es la suma de tres potencias todas ellas de grado 3. Que es la siguiente ecuación.
[texx] (a-1)·a·(a+1)+a+(b-1)·b·(b+1)+b=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] (**) (UTF n=3);
En referencia a los dos casos, estoy suponiendo que [texx] (a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] es igual a una potencia de grado 3.
Pues en vez de poner "UTF" deberías de decir "supongamos que [texx] (a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b=a^3+b^3[/texx] es una potencia de grado \( 3 \): \( a^3+b^3=c^3 \)"
Y además la disquisición anterior no aporta nada. Directamente podrías partir de \( a^3+b^3=c^3 \) y en todo caso factorizar \( a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). \)
[texx] c=a+b [/texx] ó [texx] d^3·c=a+b[/texx];
Aunque [texx] a+b[/texx], ¿puede adoptar mas valores? Si se supone que [texx] (a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] es una potencia de grado 3. ¿Cierto?
No se deduce eso que marqué en rojo, en absoluto.
Tienes que:
\( c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)((a+b)^2-3ab) \)
supuestos \( a,b,c \) coprimos (como es usual cuando uno estudia el UTF), el único factor común posible de \( (a+b) \) y \( ((a+b^2)-3ab) \) es \( 3 \) y en concreto:
\( a+b=3^{3k-1}p^3 \)
\( (a+b)^2-3ab=3q^3 \)
\( c=3pq \).
con \( p,q \) coprimos ninguno múltiplo de \( 3 \).
Saludos.