[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

\(  a^3 + (a + b)^3 = (a + b + c^3)^3 \). (*)

Luis dices que “Las soluciones enteras que te está devolviendo vienen de considerar las soluciones triviales de la ecuación, donde necesariamente alguna de los tres cubos es nulo.”
Ese necesariamente, ¿en relación a las soluciones triviales o en general?

Lo que digo es que por el Teorema de Fermat sabemos que las UNICAS soluciones enteras de (*) son aquellas en las que alguno de los tres cubos es nulo.

Plantearle otra cuestión.

\(  (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3-(c p)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2)  \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2)  \);

Es decir:

\(  (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)\color{red}= (b + c^3)^3·x^3\color{black}=(c·p + b)^3 \) (*).

No estoy seguro de donde sacas la igualdad en rojo. Es cierta si \( (b+c^3) \) es coprimo con \( (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \); en otro caso no tiene porque ser cierta.

1. \(  \color{red} 3 c p (b + c^3)^2=(b + c^3)^3·z\color{black}; z = (3 c p)/(b + c^3); p = (z (b + c^3))/(3 c)  \);

No se de donde sacas la igualdad que he marcado en rojo.

2. \(   \color{red}3 c^2 p^2·(b + c^3) =(b + c^3)^3·y\color{black}; y = (3 c^2 p^2)/(b + c^3)^2; p = ± (\sqrt[ ]{y}) (b + c^3))/(\sqrt[ ]{3}( c)  \);

Idem.

3. \(   z+y+1=x^3 \).

De 1, para que z sea entero, se deduce que \(   z = (3 c p)/(b + c^3)  \) que b=c·n, ¿cierto?

No veo porqué. Tienes: \( z(b+c^3)=3cp \). \( c \) podría dividir a \( z \) pero no a \( b+c^3 \).

De (*) en concreto \(  (b + c^3)^3·x^3=(c·p + b)^3 \), ¿ se deduce que \( c=p^2 \)?

No veo porqué ha de deducirse tal cosa.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2)  \);

\(  (c·p + b)^3 =(b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·x^3=(c·p + b)^3 \);

\( (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·x^3 \).

\(  (b + c^3)^3·x^3 \) no puede ser, porque de \(  (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) \) hay que obtener una potencia de grado 3. Y entre, sus factores, debe estar, \(  (b + c^3) \) en consecuencia \(  (b + c^3)^3 \). Aunque eso implica que:


1. \(   3 c p (b + c^3)^2=(b + c^3)^3·z; 3 c p =(b + c^3)·z  \).

2. \(   3 c^2 p^2·(b + c^3) =(b + c^3)^3·y; 3 c^2 p^2 =(b + c^3)^2·y  \).

3. \(   z+y+1=(b + c^3)^n  \) siendo n=1, 2, 3…


De 2, \(  3 c^2 p^2 =(b + c^3)^2·y; 3 c p =((b + c^3)^2·y)/(c·p)  \);

De 1 y de 2, \(  (b + c^3)·z =((b + c^3)^2·y)/(c·p)  \);

\(  z =((b + c^3)·y)/(c·p); c·p·z=((b + c^3)·y)  \);


Aunque, aquí ya me lio,  porque \(  (c·p + b)^3=(b + c^3)^3·((b + c^3)^2 \).

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2)  \);

\(  (c·p + b)^3 =(b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)=\color{red} (b + c^3)^3·x^3\color{blakc}=(c·p + b)^3 \);

\( (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·x^3 \).

\(  (b + c^3)^3·x^3 \) no puede ser, porque de \(  (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) \) hay que obtener una potencia de grado 3. Y entre, sus factores, debe estar, \(  (b + c^3) \) en consecuencia \(  (b + c^3)^3 \). Aunque eso implica que:

No has respondido a ninguna de mis objeciones anteriores.  Y las repites. No sé de donde sacas la igualdad que marco en rojo, sin el matiz que te indiqué en mi mensaje anterior.

Y luego prosigues con igualdades con menos sentido (las mismas de antes que no has aclarado):

1. \(   3 c p (b + c^3)^2=(b + c^3)^3·z; 3 c p =(b + c^3)·z  \).

2. \(   3 c^2 p^2·(b + c^3) =(b + c^3)^3·y; 3 c^2 p^2 =(b + c^3)^2·y  \).

3. \(   z+y+1=(b + c^3)^n  \) siendo n=1, 2, 3…

No se de donde salen esas igualdades. Pareces suponer que porque \( (b+c^3)^3 \) divida a una suma tiene que dividir a cada sumando. No tiene porqué ser así.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3-(c p)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2)  \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2)  \) (*);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3 + 3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)  \).

De ahí \(  (c·p + b)^3  \).

\(   (b + c^3)^3·x^3 \) (**);

(**) la deduzco de, si \(  8^3+8^2·y+8·z =q^3·t^3 \), entonces necesariamente, \(  q^3·t^3=8^3·s^3 \). ¿Cierto?

Aunque si es así \(  8^3+8^2·y+8·z = 8^3·(1+j+ñ) \), implica que y, z, tienen un factor común con 8. ¿Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

\(  (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3-(c p)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2)  \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2)  \) (*);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3 + 3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)  \).

De ahí \(  (c·p + b)^3  \).

\(   (b + c^3)^3·x^3 \) (**);

(**) la deduzco de, si \(  8^3+8^2·y+8·z =q^3·t^3 \), entonces necesariamente, \(  q^3·t^3=8^3·s^3 \). ¿Cierto?

No. No es necesariamente cierto. Y ya te indiqué en mis anteriores mensajes el matiz:

Es cierta si \( (b+c^3) \) es coprimo con \( (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \); en otro caso no tiene porque ser cierta.

En tu ejemplo:

\( 8^3+8^2\cdot y+8\cdot z=q^3\cdot t^3 \)

se cumple para \( y=7,\quad z=5,\quad q=2,\quad t=5 \) y sin embargo \( q^3\cdot t^3 \) no es múltiplo de \( 8^3 \).

Aunque si es así \(  8^3+8^2·y+8·z = 8^3·(1+j+ñ) \), implica que y, z, tienen un factor común con 8. ¿Cierto?

FALSO. Por ejemplo:

\( 8^3+8^2\cdot 173+8\cdot 280=8^3\cdot 27 \)

pero \( 173 \) y \( 280 \) son coprimos.

Saludos.

P.D. Te ayudaría cuando haces una afirmación intentar justificarla; verías que un alto porcentaje de las que has escrito en este hilo no tienen fundamento alguno.

[Gonzo]

Hola.

\(  (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3-(c p)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2)  \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2)  \);

Si se considera que dicha igualdad es igual a \(   (b + c^3)^3·x^3  \) entonces \(  (b + c^3)  \) es coprimo con\(  (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2)  \). De todas formas al estar analizando el UTF, dicha solución propuesta, es la única, ¿cierto?

\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) = (b + c^3)^3·x^3  \);

\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) = (b + c^3)^3·x^3  \);

Aquí quiero preguntarle en relación a la siguiente secuencia, si es correcta o no.

\(  (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) = (b + c^3)^3·x^3  \).

Suponiendo que \(  3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·y  \).

Cosecuentemente \(  (b + c^3)^3+(b + c^3)^3·y = (b + c^3)^3·x^3  \). ¿Cierto?

Entonces:

\(  3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·y  \).

\(  3 c p (b + c^3) + 3 c^2 p^2= (b + c^3)^2·y  \).
 
En consecuencia.

\(   3 c^2 p^2= (b + c^3)·z  \).

\(  b = c^2 ((3 p^2)/z - c)  \).

Aunque si es asi  \(  (b + c^3)  \) no es coprimo con\(  (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2)  \). Ambas sumas tienen el factor común de c.

¿Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

\(  (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3-(c p)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2)  \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2)  \);

Si se considera que dicha igualdad es igual a \(   (b + c^3)^3·x^3  \) entonces \(  (b + c^3)  \) es coprimo con\(  (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2)  \).

No. Es al revés. Si con coprimos, entonces puedes afirmar la igualdad a \(   (b + c^3)^3·x^3  \). Pero podría darse esa igualdad y no se coprimos.

  De todas formas al estar analizando el UTF, dicha solución propuesta, es la única, ¿cierto?

No se muy bien que quieres decir con que la solución es única. Si tu partes de suponer que hay una posible solución no trivial a la ecuación de Fermat, eso NO quiere decir que sea la única solución. Así que: NO cierto.

\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) = (b + c^3)^3·x^3  \);

\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) = (b + c^3)^3·x^3  \);

Aquí quiero preguntarle en relación a la siguiente secuencia, si es correcta o no.

\(  (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) = (b + c^3)^3·x^3  \)  (1).

Suponiendo que \(  3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·y  \)  (2)

No hace falta que supongas nada. Si se da (1) se da (2).

Cosecuentemente \(  (b + c^3)^3+(b + c^3)^3·y = (b + c^3)^3·x^3  \). ¿Cierto?

Si.

Entonces:

\(  3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·y  \).

\(  3 c p (b + c^3) + 3 c^2 p^2= (b + c^3)^2·y  \).
 
En consecuencia.

\(   3 c^2 p^2= (b + c^3)·z  \).

Si.

\(  b = c^2 ((3 p^2)/z - c)  \).

Aunque si es asi  \(  (b + c^3)  \) no es coprimo con\(  (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2)  \). Ambas sumas tienen el factor común de c.

No. Nada te asegura que el cociente \( 3p^2/z \) sea entero.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Si se considera que:

\( b = c^2 ((3 p^2)/z - c)  \).

\(  3 c p (b + c^3)^2 + (b + c^3)^3 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) = (b + c^3)^3·x^3  \).

\(  (b + c^3) = c^2·k  \).

Consecuentemente:
\(  3 c p (c^2·k)^2 + (c^2·k)^3 + 3 c^2 p^2·( c^2·k)= (c^2·k)^3·x^3  \).

\(  3 p c^5·k^2 + c^6·k^3 + 3 c^4 p^2·k= c^6·k^3·x^3  \).

Necesariamente, \(  p=k·c·j  \), porque todos los sumandos, excepto \(  3 c^4 p^2·k  \) entre sus factores esta \(  c^5·k^2   \) ¿cierto?

\(  3 j·c^6·k^3 + c^6·k^3 + 3·j^2 c^6·k^3= c^6·k^3·x^3  \);

\(  c^6·k^3 (3 j + 1 + 3·j^2 )= c^6·k^3·x^3  \);

\( (3 j + 1 + 3·j^2 )= x^3  \);

\(  3 j (j + 1) + 1=(x-1)(x(x+1)+1)+1 \);

\(  3 j (j + 1)=(x-1)(x(x+1)+1) \);

\( (x-1)(x(x+1)+1) \) Esta identidad no es más que una suma de un producto de tres números enteros correlativos sumándole el menor de ellos. En relación a \(  3 j (j + 1) \) sea el 3 el mayor o el menor número de esa relación se le debe sumar el menor número correlativo de ese producto. Al no sumársele no es igual a una potencia de grado 3. ¿Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

Si se considera que:

\( b = c^2 ((3 p^2)/z - c)  \). (*)

\(  3 c p (b + c^3)^2 + (b + c^3)^3 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) = (b + c^3)^3·x^3  \).

\(  (b + c^3) = c^2·k  \).

No sé de donde te sacas esa igualdad, la marcada en rojo.

Si comparamos con (*) ese k debería de ser \( 3p^2/z \) y ya te dije en mi anterior mensaje que ese cociente NO tiene porque se entero.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  (b + c^3) = c^2·k  \).

Si a \( b = c^2 ((3 p^2)/z - c)  \) se le suma \(  c^3  \) la suma es \(  c^2·k  \). Más concretamente \(  c^2 ((3 p^2)/z - c) + c^3 = c^2 (((3 p^2)/z - c + c)·= c^2 ((3 p^2)/z)= c^2·k  \).

En relación a \( b = c^2 ((3 p^2)/z - c)  \) recordemos que la z viene de:

\( 3 c^2 p^2= (b + c^3)·z  \). Aunque si \(  (b + c^3) = c^2·k  \).

\( 3 c^2 p^2= (b + c^3)·z  \);

\(  (b + c^3) = c^2·k  \).

Entonces \(  z=3  ó  z=p^2  \). ¿cierto?

Atentamente.