[Luis Fuentes]

Hola

\( b(b-x) = ab \);
\( b(b-x) = ab \);
\( (b-x) = a \);
\( b=a+x \).
\( a^3+b^3= a^3+(a+x)^3=(a+a+x)(\color{red}aax\color{black}+(a+x-a)^2) = (2a+x)( \color{red}x a^2\color{black}+(x)^2)   \);

Lo que está en rojo está mal. Sería:

\( a^3+(a+x)^3=(a+a+x)(a(a+x)+(a+x-a)^2) \)
\( a^3+(a+x)^3=(2a+x)(a^2+ax+x^2) \)

Y eso, como no podía se de otra manera, es una identidad. Se cumple para cualesquiera valores de \( a \) y \( x \). No da ninguna información útil.

No podía ser de otra manera porque lo único que haces es en la identidad:

\( a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \)

sustituir \( b=a+x. \)

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Si introducimos \(  a^3+(a+c)^3=c^5(a(a+c)+c^2)=(2a+c)d^5   \) en wolfram lanza:

\(   c^2 = -a^2 - c a ∨ a = c^5/2 - c/2, (…)  \)

\(   a = c^5/2 - c/2  \)

a y c cumplen conjetura si c es impar, curioso, cierto??


Atentamente.

 

[Gonzo]

Hola.

Me equivoque, la ecuación debería ser:

 \(  a^3+(a+c)^3=d^5(a(a+c)+c^2)=(2a+c)e^5   \).

Por lo tanto a y c, pueden o no, tener factor común.


Atentamente.

 

[Gonzo]

Hola.

\(  a^3+(a+c)^3=(2a+c)(a(a+c)+c^2)= (2a+c)(a(a+c))+(2a+c)c^2)= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3   \);

\(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3   \);

\(  a^3+(a+c)^3= d^3 +c^3   \);

\(  c^3 ≠ (a+c)^3 ; c^3= a^3   \). Cierto??


Si \(  c^3≠ a^3   \);

\(  a^3 – c^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2-(a+c)^3  \);

\(  a^3 – c^3= x-(a+c)^3  \);

\(  a^3 ≠ (a+c)^3; c^3 ≠ (a+c)^3    \).


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

\(  a^3+(a+c)^3=(2a+c)(a(a+c)+c^2)= (2a+c)(a(a+c))+(2a+c)c^2)= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3   \);

\(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3   \);

\(  a^3+(a+c)^3= d^3 +c^3   \);

\(  c^3 ≠ (a+c)^3 ; c^3= a^3   \). Cierto??

No sé a que viene la igualdad que he marcada en azul.

Por otra parte no estoy seguro a qué te refieres cuando preguntas si es cierto.

Si estás afirmando que del hecho de que \( c^3\neq (a+c)^3 \) se deduce que \( c^3=a^3 \). Es FALSO.

Si \(  c^3≠ a^3   \);

\(  a^3 – c^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2-(a+c)^3  \);

\(  a^3 – c^3= x-(a+c)^3  \);

\(  a^3 ≠ (a+c)^3; c^3 ≠ (a+c)^3    \).

Ahí no se a donde quieres llegar a parar ni que quieres concluir. Desde luego si \( a,c  \)son positivos y no nulos entonces está claro que:

\( a^3\neq (a+c)^3 \) y que \( c^3\neq (a+c)^3 \)

Es una obviedad que no se ni que aporta ni a que viene.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Si introducimos en wolfram, solve * for c, siendo * \(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=d^3+c^3  \) dicha variable esta en función de a:


\(  c = (\sqrt(3)\sqrt(4 a d^3 - 5 a^4) - 3 a^2)/(6 a)  \), d tiene un factor con a.


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Si introducimos en wolfram, solve * for c, siendo * \(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=d^3+c^3  \) dicha variable esta en función de a:


\(  c = (\sqrt(3)\sqrt(4 a d^3 - 5 a^4) - 3 a^2)/(6 a)  \), d tiene un factor con a.

Si partes de que:

\( a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 \)   (*)

Sin tanta historia simplemente desarrollando el cubo y simplificando llegas a que:

\( a(2a^2+3ac+3c^2)=d^3 \)

Y de ahí obviamente \( a \) y \( d \) tienen factores comunes.

¿Y bien?¿Qué pretendes concluir de ahí?¿A qué viene partir de (*)?.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

La ecuación inicial es \(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=d^3+c^3  \). Donde \(  (2a+c)(a(a+c))+2ac^2=d^3  \) (*).

Donde d introducimos (*), en la ecuación, \(  c = (\sqrt(3)\sqrt(4 a d^3 - 5 a^4) - 3 a^2)/(6 a)  \), c y a tienen un factor común.

¿Porque dice que es falso \(  c^3≠(a+c)^3\vee c^3=a^3  \)?


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

La ecuación inicial es \(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=d^3+c^3  \). Donde \(  (2a+c)(a(a+c))+2ac^2=d^3  \) (*).

¿Y qué interés tiene esa ecuación inicial?. 

Donde d introducimos (*), en la ecuación, \(  c = (\sqrt(3)\sqrt(4 a d^3 - 5 a^4) - 3 a^2)/(6 a)  \), c y a tienen un factor común.

No, ojo. De ahí no se deduce que \( a \) y \( c \) tengan un factor común.

¿Porque dice que es falso \(  c^3≠(a+c)^3\vee c^3=a^3  \)?

No. La pregunta es porque dices que es cierto.

Es decir de:

\(  a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 \)

No se deduce que si \( c^3\neq (a+c)^3 \) entonces\(  c^3=a^3 \).

\( 3+7=4+6 \)

Se tiene que \( 7\neq 6 \) y de ahí no se deduce que \( 6=3 \).

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] 7^3+7^4=14^3; 14^3-7^3=7^4; (a+c)^3-a^3 [/texx].

[texx] 3^3+6^3=3^5; a^3+(a+c)^3 [/texx].

Lo curioso de esta ecuación, [texx] a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=d^3+c^3 [/texx], es por la rigidez de las potencias.

Es decir, [texx] 3^3+6^3=d^3+e^3 [/texx]. Si intento obtener de [texx] 3^3+6^3 [/texx] dos potencias con distintas bases a las dos inicales pero con los mismos exponentes, tal que [texx] d^3+e^3 [/texx], es muy difícil (creo que es imposible), por que;

 [texx] 6^3=(2*3)^3=2^3*3^3=(1+7)*3^3=3^3+7*3^3[/texx] y ahora le sumo  [texx] 3^3 [/texx], por lo tanto, [texx] 3^3+7*3^3+3^3=2*3^3+7*3^3[/texx] no se ajusta a los requisitos. Por esa poca flexibilidad de las potencias, se deduce
(si [texx] a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 [/texx] con la restricción de [texx]  (2a+c)(a(a+c))+2ac^2=d^3 [/texx]) que [texx] a^3=c^3 [/texx].

Porque si se manipulan las potencias no se ajustan a los requisitos. Aunque, creo que, si que hay números que cumplen con [texx] a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 [/texx] .

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html.

Aunque no se ajustan a  [texx] a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 [/texx], en todos ellos se iguala una suma de tres potencias a una potencia, debiendo ser la igualdad suma de dos potencias a ambos lados de la igualdad , o resta de dos potencias a ambos lados de la igualdad.

Atentamente.