[Luis Fuentes]

Hola

\(  762^3 + 127^4 = 889^3  \); \(  (2·3·127)^3 + 127^4 = (7·127)^3  \); \(  (2·3·127)^3 + 127^4 = (762+127)^3  \).

Por lo tanto:

\(  a^3 + b^4 = (a+b)^3  \);

En cuanto partes de esa ecuación con solo dos variables, todo lo que haces carece de interés. Es trivial que en ese caso \( a \) y \( b \) tienen una factor común.

Lo delicado es estudiar ecuaciones "tipo conjetura de Beal" con TRES variables distintas.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Intentemos demostrar que d y b tienen un factor común en los siguientes casos, entonces la conjetura estaría demostrada.

Recordemos que:

 
\(  a^{10} = a + a (a^9 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^2 + a^2 (a^8 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^3 + a^3 (a^7 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^4 + a^4 (a^6 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^5 + a^5 (a^5 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^6 + a^6 (a^4 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^7 + a^7 (a^3 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^8 + a^8 (a^2 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^9 + a^9 (a - 1)  \)
\(  a^{10} = a^{10} + 0  \)

\(  a^n  = a^{n-9} + a^{n-9} (a^9 - 1)  \)
\(  a^n = a^{n-8}+ a^{n-8} (a^8 - 1)  \)
\(  a^n =  a^{n-7} + a^{n-7} (a^7 - 1)  \)
\(  a^n = a^{n-6} +  a^{n-6} (a^6- 1)  \)
\(  a^n = a^{n-5}+ a^{n-5} (a^5 - 1)  \)
\(  a^n = a^{n-4} + a^{n-4} (a^4- 1)   \)
\(  a^n = a^{n-3} + a^{n-3} (a^3 - 1)  \)
\(  a^n = a^{n-2} + a^{n-2} (a^2 - 1)  \)
\(  a^n  =  a^{n-1} +  a^{n-1} (a - 1)  \)
\(  a^n  =  a^n  +  0   \)
 
i.

\(  c^{z} =d^{z-m}+ (d+b) ^{z-m}  \)
\(  a^n = a^{z-m} + a^{z-m} (a^m - 1)  \) de las ecuaciones expuestas. Igualo.
Consideremos por similitud \(  d^{z-m} = a^{z-m}  \). Extendemos la igualdad:

\(  (d+b) ^{z-m} = d^{z-m} (d^m - 1)  \). Multipliquemos por \(  1 ^{1/(z-m)} \).

\(  (d+b) = d(d^m - 1)^{1/(z-m)}  \);

\(  b = d(d^m - 1)^{1/(z-m)} -d  \).

Entonces si b y d tienen un factor común, entonces:
 \(  c^{z} =d^{z-m}+ (d+b) ^{z-m}  \), c también.

ii.

\(  c^{z} =d^{x}+ (d+b) ^{y}  \).

Recordemos.

\(  a^{n+2}= a^n+a^n(a^2-1) \)
 \(  a^{n+2}= a^{n+1}+a^n(a^2-a) \)
 \(  a^{n+2}= a^{n+2}+a^n(a^2-a^2) \)
 \(  a^{n+2}= a^{n+3}+a^n(a^2-a^3) \)
 \(  a^{n+2}= a^{n+k}+a^n(a^2-a^k) \)

Nuestra ecuación \(  c^{z+2} =d^{z+k}+ (d+b) ^{z}  \).
Consideremos por similitud \(  d^{z+k} = a^{n+k}  \). Extendemos la igualdad:

\(  (d+b) ^{z} = d^z(d^2-d^k)  \). Multipliquemos por \(  1 ^{1/(z)} \).

\(  (d+b) = d(d^2 – d^k)^{1/(z)}  \);

\(  b = d(d^2 – d^k)^{1/(z)} -d  \).

Entonces si b y d tienen un factor común, entonces c tambien, ya que:
 \(  c^{z+2} =d^{z+k}+ (d+b) ^{z}  \).


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Recordemos que:

 
\(  a^{10} = a + a (a^9 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^2 + a^2 (a^8 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^3 + a^3 (a^7 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^4 + a^4 (a^6 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^5 + a^5 (a^5 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^6 + a^6 (a^4 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^7 + a^7 (a^3 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^8 + a^8 (a^2 - 1)  \)
\(  a^{10} = a^9 + a^9 (a - 1)  \)
\(  a^{10} = a^{10} + 0  \)

\(  a^n  = a^{n-9} + a^{n-9} (a^9 - 1)  \)
\(  a^n = a^{n-8}+ a^{n-8} (a^8 - 1)  \)
\(  a^n =  a^{n-7} + a^{n-7} (a^7 - 1)  \)
\(  a^n = a^{n-6} +  a^{n-6} (a^6- 1)  \)
\(  a^n = a^{n-5}+ a^{n-5} (a^5 - 1)  \)
\(  a^n = a^{n-4} + a^{n-4} (a^4- 1)   \)
\(  a^n = a^{n-3} + a^{n-3} (a^3 - 1)  \)
\(  a^n = a^{n-2} + a^{n-2} (a^2 - 1)  \)
\(  a^n  =  a^{n-1} +  a^{n-1} (a - 1)  \)
\(  a^n  =  a^n  +  0   \)

Para no alargar tanto la obviedad podrías decir que:

\( a^n=a^{n-k}+a^{n-k}(a^k-1) \)
 

i.

\(  c^{z} =d^{z-m}+ (d+b) ^{z-m}  \)
\(  a^n = a^{z-m} + a^{z-m} (a^m - 1)  \) de las ecuaciones expuestas. Igualo.
Consideremos por similitud \(  d^{z-m} = a^{z-m}  \). Extendemos la igualdad:

\( \color{red} (d+b) ^{z-m} = d^{z-m} (d^m - 1) \color{black} \).

Esa igualdad en rojo es gratuita, sacada de la manga, forzada, no se deduce de lo anterior... todo lo que concluyas de ahí carece de interés.

Te inventas de nuevo una igualdad donde sólo intervienen dos variables y ahí la existencia de factor común es tan trivial como poco interesante.

Nuestra ecuación \(  c^{z+2} =d^{z+k}+ (d+b) ^{z}  \).
Consideremos por similitud \(  d^{z+k} = a^{n+k}  \). Extendemos la igualdad:

\( \color{red} (d+b) ^{z} = d^z(d^2-d^k) \color{black} \).

Idem.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Sean las siguientes entidades:

\(  b^n = b^{n-k} + b^{n-k}( b^k-1) \) (i).

\(  b^{n+2} = b^{n+k} + b^n( b^2- b^k) \) (ii).

Consideremos la ecuación de la Conjetura de Beal, tal que:

\(  c^x = a^y + b^z \);

Apliquemos el triangulo de Pascal tal que:

\(  (a+b)^n = a^n + ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n \);

Aunque \(  a^n  \) es potencia, mediante (i) o (ii) puede descomponerse en suma. Pero en principio consideremos que es una potencia.

\(  ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n  \) hay que suponer que esta expresión es potencia de acuedo con la conjetura. Entonces debe cumplir con (i) o (ii).

\(  b^n  \) es potencia. Aunque puede adoptar cualquier forma de cualquier ecuación de (i) o (ii), es decir se puede descomponer en suma. Consideremos que es potencia y que es la primera ecuación de la suma con todas sus posibles variaciones. \(  b^{n-k}  \) (i) o \(  b^{n+k}  \) (ii).

Centrémonos en \(  ((a+b)^n - a^n - b^n)  \) si a y b no tienen un factor común, el resultado no el segundo número de la suma de (i) o (ii). Si a y b son primos relativos obtenemos una suma o resta de tres números coprimos que quizás sea potencia de otro número, pero no de b con su producto.

Recordemos que la suma de dos números coprimos su suma es un tercero sin ningún factor común de los dos iniciales. Y eso no es lo que pretendemos porque pretendemos obtener \(  b^{n-k}( b^k-1) \) (i) o \(  b^n( b^2- b^k) \) (ii).

De \(  ((a+b)^n - a^n - b^n)  \) hay que obtener una agrupación de números tal que \(  b^{n-k}( b^k-1) \) (i) o \(  b^n( b^2- b^k) \) (ii). Es decir, no una potencia de cualquier número sino una potencia de b con su producto. Por lo tanto a es igual b o a un número con un factor común.

Luis el triangulo de Pascal esta modelizado solo con dos variables a y b. Por lo tanto, si la conjetura se puede razonar mediante dos variables no necesariamente tiene intervenir las tres variables. De todas formas si a y b tienen un factor común, inmediatamente c también.

Quizás si tiempo atrás hubieran aparecido estas ecuaciones:

\(  b^n  = b^n + (b-1)b^n(b+1) \)

\(  b^n = b^{n-k} + b^{n-k}( b^k-1) \) (i).

\(  b^{n+2} = b^{n+k} + b^n( b^2- b^k) \) (ii).

El teorema de Fermat y la conjetura de Beal no hubieran tenido tanta repercusión.

Démonos cuenta que intento demostrar algo que esta implícito en las tres ecuaciones mencionadas. No es un pelin “extraño”.

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Una vez más ecuaciones triviales y obvias:

Sean las siguientes entidades:

\(  b^n = b^{n-k} + b^{n-k}( b^k-1) \) (i).

\(  b^{n+2} = b^{n+k} + b^n( b^2- b^k) \) (ii).

La verdadera ecuación que interesa para estudiar la conjetura:

Consideremos la ecuación de la Conjetura de Beal, tal que:

\(  c^x = a^y + b^z \);

Y un viaje arbitrario de la ecuación anterior a otras donde te "cargas" letras "porque si", sin ningún argumento sólido detrás.

Apliquemos el triangulo de Pascal tal que:

\(  (a+b)^n = a^n + ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n \);

Aunque \(  a^n  \) es potencia, mediante (i) o (ii) puede descomponerse en suma. Pero en principio consideremos que es una potencia.

\(  ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n  \) hay que suponer que esta expresión es potencia de acuedo con la conjetura. Entonces debe cumplir con (i) o (ii).

\(  b^n  \) es potencia. Aunque puede adoptar cualquier forma de cualquier ecuación de (i) o (ii), es decir se puede descomponer en suma. Consideremos que es potencia y que es la primera ecuación de la suma con todas sus posibles variaciones. \(  b^{n-k}  \) (i) o \(  b^{n+k}  \) (ii).

Centrémonos en \(  ((a+b)^n - a^n - b^n)  \) si a y b no tienen un factor común, el resultado no el segundo número de la suma de (i) o (ii). Si a y b son primos relativos obtenemos una suma o resta de tres números coprimos que quizás sea potencia de otro número, pero no de b con su producto.

Recordemos que la suma de dos números coprimos su suma es un tercero sin ningún factor común de los dos iniciales. Y eso no es lo que pretendemos porque pretendemos obtener \(  b^{n-k}( b^k-1) \) (i) o \(  b^n( b^2- b^k) \) (ii).

De \(  ((a+b)^n - a^n - b^n)  \) hay que obtener una agrupación de números tal que \(  b^{n-k}( b^k-1) \) (i) o \(  b^n( b^2- b^k) \) (ii). Es decir, no una potencia de cualquier número sino una potencia de b con su producto. Por lo tanto a es igual b o a un número con un factor común.

Luis el triangulo de Pascal esta modelizado solo con dos variables a y b. Por lo tanto, si la conjetura se puede razonar mediante dos variables no necesariamente tiene intervenir las tres variables. De todas formas si a y b tienen un factor común, inmediatamente c también.

Es decir como a ti te apetece usar el triángulo de Pascal, quitas una variable a la conjetura y no te tiembla el pulso. En fin... una arbitrariedad.

Quizás si tiempo atrás hubieran aparecido estas ecuaciones:

\(  b^n  = b^n + (b-1)b^n(b+1) \)

\(  b^n = b^{n-k} + b^{n-k}( b^k-1) \) (i).

\(  b^{n+2} = b^{n+k} + b^n( b^2- b^k) \) (ii).

El teorema de Fermat y la conjetura de Beal no hubieran tenido tanta repercusión.

¿Pero no ves que esas ecuaciones son trivialidades que ni han aparecido ni han dejado de aparecer? Nadie se atrevería a ponerlas en un libro como "descubrimiento" por que son obvias.

Es somo si me dices que en ningún libro explica como se echa agua en un vaso rosa y tu has "descubierto" como se hace; y que con eso mucha menos gente se hubiera muerto de sed. En fin...

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Sean las siguientes entidades:

\(  b^n = b^{n-k} + b^{n-k}( b^k-1) \) (i).

\(  b^{n+2} = b^{n+k} + b^n( b^2- b^k) \) (ii).

\(  b^{n+2} = b^{n} + (b+1)b^n( b-1) \) (iii).


Consideremos la ecuación de la Conjetura de Beal, tal que:

\(  c^x = a^y + d^z \).

\(  c^x = (a+b)^n  \).

\(  a^y = a^n \).

\(  d^z = ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n  \).


\(  c^x = (a+b)^n  \).
Con todas sus posibles variaciones \(  14^3 = (7+7)^{12}=((7+7)^3)^{4}=((7+7)^4)^{3}  \). Incluso \(  c^x = (a+0)^n; 3^5=3^3+6^3 \). Este caso concreto se ajusta a (iii).

\(  a^y = a^n \).
En principio consideramos que es potencia y que y es igual a n. Aunque \( a^n \) puede adoptar cualquiera de las formas de (i), (ii), (iii) y combinarse con \( ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n  \).

\(  d^z = ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n  \).
Si hacemos el desarrollo del triangulo de Pascal:
 \(  (a+b)^n - a^n - b^n=a^n+ab(…)+b^n- a^n - b^n= ab(…)  \) entonces d tiene un factor común con b. Pero no solo eso, si \(  ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n  \) es potencia, que lo es, cumple con (i), (ii) o (iii). Entonces \(  ((a+b)^n - a^n - b^n) \) es igual a una potencia de b con su producto tal que (i), (ii) o (iii).

Centremonos en \(  ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n  \) hay que suponer que esta expresión es potencia de acuedo con la conjetura. Entonces debe cumplir con (i), (ii) o (iii).

\(  b^n  \) es potencia. Aunque puede adoptar cualquier forma de cualquier ecuación de (i) o (ii), es decir se puede descomponer en suma. Consideremos que es potencia y que es la primera ecuación de la suma con todas sus posibles variaciones. \(  b^{n-k}  \) (i) o \(  b^{n+k}  \) (ii).

Consecuentemente \(  ((a+b)^n - a^n - b^n)  \) si a y b no tienen un factor común, el resultado no el segundo número de la suma de (i) o (ii). Si a y b son primos relativos obtenemos una suma o resta de tres números coprimos que quizás sea potencia de otro número, pero no de b con su producto.

Recordemos que la suma de dos números coprimos su suma es un tercero sin ningún factor común de los dos iniciales. Y eso no es lo que pretendemos porque pretendemos obtener \(  b^{n-k}( b^k-1) \) (i) o \(  b^n( b^2- b^k) \) (ii).

De \(  ((a+b)^n - a^n - b^n)  \) hay que obtener una agrupación de números tal que \(  b^{n-k}( b^k-1) \) (i) o \(  b^n( b^2- b^k) \) (ii). Es decir, no una potencia de cualquier número sino una potencia de b con su producto. Por lo tanto a es igual b o a un número con un factor común.

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

 Desde mi punto de vista hace muchos, muchísimos mensajes, en que no dices nada nuevo e incides una y otra vez en los mismos errores argumentales. Te lo he tratado de explicar de muchas formas; pero veo que predico en el desierto. No me veo capaz de mejorar mis aclaraciones.

 Dejo el tema.

 Suerte.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Luis en relación a la c. Se refiere a:

1. \(  a^n=a^3+3ab(a+b)+c  \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \(  (a+d)^m=b^3-c  \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \(  a^n + (a+d)^m=(a+b)^3  \)

Pues si aplicamos:

\(  b^n = b^{n-k} + b^{n-k}( b^k-1) \) (i).

\(  b^{n+2} = b^{n+k} + b^n( b^2- b^k) \) (ii).

\(  b^{n+2} = b^{n} + (b+1)b^n( b-1) \) (iii).

En la ecuación 3. d tiene un factor común con a y consecuentemente b tiene un factor común con a.

Si no contesta no hay feedback. Por lo tanto, no habran más mensajes. Es de los pocos matemáticos que tienen la suficiente paciencia para responder y proponer alternativas en lo expuesto en el foro.

Intento hacerle caso a sus sabias críticas. Siempre que se entiendan. Aunque errores argumentales. Me cuesta entender. Además si lo razona a modo de vaso rosa. Pues entonces me pierdo. Por lo tanto, sus criticas, si se justifican matemáticamente, intento hacerme eco de ellas.

Luis te propongo que demuestres el siguiente caso, sin hacer mención a (iii).

Consideremos \(  b^{n+2} = b^{n} + (b+1)b^n( b-1) \).

Pues bien intentemos sumar la potencia \(  a^m  \) + \(  b^{n}  \)  donde a es un número primo relativo de b y queremos ver que es imposible;

\(  b^{n+2} = b^{n}+a^m + (b+1)b^n( b-1)-a^m \) donde \(  b^{n}+a^m = c^f  \) y

\(  (b+1)b^n( b-1)-a^m =(c-1)c^f(c+1)  \). Entonces:

\(  (b+1)b^n( b-1)-a^m =((a^n +b^m)^{1/f}+1))( a^n +b^m)( (a^n +b^m)^{1/f}-1)  \). Despejo a.

\(  a = ((b^{m + 2})^ {f/(f + 2) } - b^m)^ {1/n}  \)

Para que \(  b^{n}+a^m = c^f  \) sea potencia, a y b tienen un factor común. Por lo tanto, se contradice con la premisa inicial de que a y b son primos relativos.


Es que además si de:

 \(  b^{n+2} = b^{n}+a^m + (b+1)b^n( b-1)-a^m \) intentamos obtener una ecuación que cumple con conjetura. \(  (b+1)b^n( b-1)-a^m \) tiene que ser igual a potencia.

Recordemos:

\(  b^{n+2} = b^{n} + (b+1)b^n( b-1);- b^{n} =- b^{n+2} + (b+1)b^n( b-1)  \) (iii).


Volviendo a \(  (b+1)b^n( b-1)-a^m \) si es potencia entonces, \(  a^m= b^{n+2}  \). Osea a y b tienen un factor común.


\(  b^{n+2} = b^{n}+a^m + (b+1)b^n( b-1)- b^{n+2}  \);


\(  b^{n+2} = b^{n}+a^m - b^{n}  \);

Sustituyo  \(  a^m= b^{n+2}  \).

\(  b^{n} +b^{n+2} = b^{n}+ b^{n+2}  \);


\(  (1+b^2)b^{n}= b^{n}+ b^{n+2}  \).


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Si no contesta no hay feedback.

Por tu parte el "feedback" deja mucho que desear por motivos que ya te he expuesto y en un momento te vuelvo a explicar.

Intento hacerle caso a sus sabias críticas.

 Sinceramente, no lo parece.

Siempre que se entiendan. Aunque errores argumentales. Me cuesta entender.

Si no entiendes una crítica, lo razonable, lo que  exige un debate, es que expongas tus dudas al respecto. Que pidas que te la explique mejor. Que detalles que es lo que no entiendes y pidas más aclaración. Pero NO haces nada de eso; yo realmente no sé si entiendes o no las críticas; tu respuesta a la mismas nunca es preguntar algo sobre ellas, sino volver a colocar sin más una colección de fórmulas y argumentos que no se sabe exactamente a cuál de mis objecciones está respondiendo y que en general son repeticiones casi idénticas a formulaciones que ya has hecho. Eso no es "feedback".

Además si lo razona a modo de vaso rosa. Pues entonces me pierdo.

Insisto si te pierdes, pregunta. "No entendí que quisiste decir con esto o con esto otro". Si con lo del vaso rosa te refieres a esto que puse:

Es somo si me dices que en ningún libro explica como se echa agua en un vaso rosa y tu has "descubierto" como se hace; y que con eso mucha menos gente se hubiera muerto de sed.

Lo que quiero decir es que tu hablas de tus fórmulas \( b^n  = b^n + (b-1)b^n(b+1) \) como si fueran la piedra filosofal que faltaba para entender la conjetura de Beal; dices "si hubieran aparecido tiempo atrás...". Y lo que yo te digo que esas ecuaciones son obvias, triviales; todo el mundo con una mínima noción de matemática las entiende, las conoce y las usará auxiilarmente en la medida en que sean útiles. Pero por eso no tienen mayor relevancia; como es irrelevante para beber agua que un vaso sea azul, rosa o amarillo.

\(  b^{n+2} = b^{n}+a^m + (b+1)b^n( b-1)-a^m \) donde \(  b^{n}+a^m = c^f  \) y

\(  \color{red}(b+1)b^n( b-1)-a^m =(c-1)c^f(c+1)\color{black}  \). Entonces:

Esa ecuación en rojo te la sacas de la manga y todo lo que haces a partir de ahí carecer de interés porque está sesgado por el hecho de introducir una ecuación extra gratuita.

La ecuación en rojo simplificada es:

\( b^{n+2}-b^n-a^m=c^{f+2}-c^f \)

Si además suponemos que \(  b^{n}+a^m = c^f  \) entonces la ecuación anterior queda:

\( b^{n+2}=c^{f+2} \)

y.. ¡claro!... trivialmente y sin tanto rollo como haces, \( b \) y \( c \) tienen factores comunes.

Pero el problema es que esa ecuación en rojo está sacada de la manga; no hay ningún motivo por el cuál tenga que cumplirse.

Por último. ¿Has visto como te he respondido? ¿Has visto cómo he ido citando uno por uno los puntos en los que no estoy de acuerdo contigo? ¿Cómo los he ido refutando uno a uno? Eso es feedback; eso es un debate...Sinceramente, nada parecido a lo que tu haces.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  b^{n+2} = b^{n}+a^m + (b+1)b^n( b-1)-a^m \) donde \(  b^{n}+a^m = c^f  \) y

\(  (b+1)b^n( b-1)-a^m =(c-1)c^f(c+1)  \). Entonces:

Considero que toda potencia mayor o igual a 3 cumple con \(  c^{f+2} = c^f + (c-1)c^f(c+1)  \).

En relación a la entidad. con \(  c^{f+2} = c^f + (c-1)c^f(c+1)  \). Si quizás sea trivial, pero ahora que la conocemos. Entenderla es fácil al igual que entender:

\(  (a+b)^3 = a^3 +3ab(a+b)+b^3  \). Pero y que, ¿que sea facil o no de entender?

Porque si toda potencia cumple con la entidad, entonces no puede existir:

\(  d^{f+2} = k^f + (c-1)c^f(c+1)  \) donde K y c no tienen factores comunes.


Atentamente.