[Gonzo]

Entiendo. Esto es una barbaridad.  \(  B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3  \). Con reflexión y tiempo se ve claramente que c es negativa. Sin llegar a ningún tipo de contradicción.
Atentamente.

[Gonzo]

Hola,
\(  B^n=a+b \)
\(  A^n=(a+b)^2-3ab \).
Hay íntegros que cumplen con la segunda condición. Con a y b con y sin factor común.
Pero qué ocurre si \(  A^n=(a+b)^3-3ab \). Pues que, no existe valor para a y b que cumplan con dicha condición. Considerando que todas las variables son enteras. Independientemente de que si a y b tienen o no factor común. ¿Por qué?
\(  (a+b)^3 - 3ab=a^3+b^3+3ab(a+b-1) \).
Observemos que \(  a^3+b^3+3ab(a+b-1) \) nunca será igual a \(  a^3+b^3+3ab(a+b) \) ni a otra expresión que podamos obtener con el triángulo de Pascal.
Este razonamiento se puede extender a \(  (a+b)^6 - 3ab \).
Suponiendo que se cumplen las dos condiciones iniciales y suponiendo que todos los exponentes son iguales o mayores que 3. Esto es:
\(  B^3=a+b \).
\(  A^n=(a+b)^{3*2}-3ab \); \(  A^n=(a+b)^6-3ab \).
Por lo tanto, \(  A^n=(a+b)^6-3ab \), nunca tendrá soluciones con números enteros.
Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

 No se entiende demasiado de tu último mensaje:

 1) Realmente no das ninguna justificación sólida de tus afirmaciones.
 2) No se sabe a que viene esa disquisición.

 Detallo el asunto:

Hola,
\(  B^n=a+b \)
\(  A^n=(a+b)^2-3ab \).
Hay íntegros que cumplen con la segunda condición. Con a y b con y sin factor común.
Pero qué ocurre si \(  A^n=(a+b)^3-3ab \). Pues que, no existe valor para a y b que cumplan con dicha condición. Considerando que todas las variables son enteras. Independientemente de que si a y b tienen o no factor común. ¿Por qué?
\(  (a+b)^3 - 3ab=a^3+b^3+3ab(a+b-1) \).
Observemos que \(  a^3+b^3+3ab(a+b-1) \) nunca será igual a \(  a^3+b^3+3ab(a+b) \) ni a otra expresión que podamos obtener con el triángulo de Pascal.

Que \( (a+b)^3\neq a^3+b^3+3ab(a+b-1) \) si \( a,b\neq 0 \) es una obviedad. Pero eso no tiene nada que ver o no dice nada sobre si \( (a+b)^3-3ab \) puede o no ser una potencia enésima. Es decir de ahí no se deduce que no puedan existir enteros verificando la ecuación  \(  A^n=(a+b)^3-3ab \).

Este razonamiento se puede extender a \(  (a+b)^6 - 3ab \).

Como te he dicho, el razonamiento esta mal, así que no hay nada que extender.

Suponiendo que se cumplen las dos condiciones iniciales y suponiendo que todos los exponentes son iguales o mayores que 3. Esto es:
\(  B^3=a+b \).
\(  A^n=(a+b)^{3*2}-3ab \); \(  A^n=(a+b)^6-3ab \).
Por lo tanto, \(  A^n=(a+b)^6-3ab \), nunca tendrá soluciones con números enteros.

Por una parte no has probado nada de esto y por otra tampoco sé a que viene.

Las ecuaciones que estabas estudiando:

\( B^n=a+b \)
\( A^n=(a+b)^2-3ab \)

venían a cuento (surgían de manera natural) al estudiar la ecuación \( C^n=a^3+b^3. \)

Pero por ejemplo estudiar:

\( B^n=a+b \)
\( A^n=(a+b)^6-3ab \)

ya no sé a que viene.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.
\( A^n=a+b \).
\(  B^n=(a+b)^2-3ab \).
Lanzo la siguiente duda.
Supongamos que
\(  B^3=(a+b)^2-3ab \) y que operando llegamos a:
\(  B^3=(a^3+b^3)/(a+b)  \) y \(  B^3=3/2(a^2+b^2)-1/2(a+b)^2  \).
Donde \(  (a+b)^2 = A^6  \). Porque incialmente consideramos \(  A^3=a+b \).
Igualamos tal que \(  (a^3+b^3)/(a+b)=3/2(a^2+b^2)-1/2(A)^6  \). Despejamos a.
Dos soluciones. \(  a = -b - A^3  \) y \(  a =-b + A^3  \). Donde \(  A^3=a+b \). La primera solución 2a=-2b y de la segunda a = a. Por lo tanto, a=-b.
¿Dicha igualdad, a=-b, contradice las condiciones iniciales? y por lo tanto verifica que es imposible este caso particular.

[Luis Fuentes]

Hola

\( A^n=a+b \).
\(  B^n=(a+b)^2-3ab \).
Lanzo la siguiente duda.
Supongamos que
\(  B^3=(a+b)^2-3ab \) y que operando llegamos a:
\(  B^3=(a^3+b^3)/(a+b)  \) y \(  B^3=3/2(a^2+b^2)-1/2(a+b)^2  \).
Donde \(  (a+b)^2 = A^6  \). Porque incialmente consideramos \(  A^3=a+b \).
Igualamos tal que \(  (a^3+b^3)/(a+b)=3/2(a^2+b^2)-1/2(A)^6  \). Despejamos a.
Dos soluciones. \(  a = -b - A^3  \) y \(  a =-b + A^3  \). Donde \(  A^3=a+b \). La primera solución 2a=-2b y de la segunda a = a. Por lo tanto, a=-b.
¿Dicha igualdad, a=-b, contradice las condiciones iniciales? y por lo tanto verifica que es imposible este caso particular.

Si \( a=-b \) queda descartada porque, entre otras coas, estamos suponiendo que \( a,b \) son enteros positivos.

Pero la que no queda descartada es la solución trivial \( a=a \), que obviamente es cierta. Así que el razonamiento que planteas no concluye nada útil.

Es lógico porque tan solo manejas identidades.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.
Tiempo atrás:
\( a+b=c^3  \) y \(  (a+b)^2-3ab=d^3  \) donde d y c son coprimos.
Por lo tanto, \(  (a+b)^2-3ab=d^3  \); \(  (a+b)^2=d^3 +3ab  \). En esta última expresión la forzamos para que cumpla con la primera de las condiciones iniciales:
\(  (a+b)^2=d^3 +3ab  \); \(  (c^3)^2=d^3 +3ab  \); \(  (c^2)^3=d^3 +3ab  \). Sustituimos \(  d=a+e  \). Por lo tanto, \(  (c^2)^3=(a+e)^3 +3ab  \). Triángulo de Pascal. \(  (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e) +3ab  \); \(  (c^2)^3=(a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab) \). Dicha expresión \(  (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e)+ab)  \) en concreto \(  (a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab)  \). Para ser igual a potencia de grado 3 debería cumplir con \(  a*b=0  \). Condición imposible con el caso planteado.
¿Cierto?
Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

\( a+b=c^3  \) y \(  (a+b)^2-3ab=d^3  \) donde d y c son coprimos.
Por lo tanto, \(  (a+b)^2-3ab=d^3  \); \(  (a+b)^2=d^3 +3ab  \). En esta última expresión la forzamos para que cumpla con la primera de las condiciones iniciales:
\(  (a+b)^2=d^3 +3ab  \); \(  (c^3)^2=d^3 +3ab  \); \(  (c^2)^3=d^3 +3ab  \). Sustituimos \(  d=a+e  \). Por lo tanto, \(  (c^2)^3=(a+e)^3 +3ab  \). Triángulo de Pascal. \(  (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e) +3ab  \); \(  (c^2)^3=(a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab) \). Dicha expresión \(  (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e)+ab)  \) en concreto \(  (a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab)  \). Para ser igual a potencia de grado 3 debería cumplir con \(  a*b=0  \). Condición imposible con el caso planteado.
¿Cierto?

No sé si es cierta o no la afirmación en rojo, pero en caso de serlo tienes que demostralo. ¿Por qué tiene que cumplirse que \( ab=0 \)?.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.
\(  (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \).
Toda potencia de grado 3, de cualquier entero, la podemos expresar mediante la ecuación facilitada por el Triángulo de Pascal mediante enteros. Excepto \(  1^3 \).
Para cada entero, su suma, \(  (a+b)^3 \), la indicamos tal que, \(  a^3+b^3+3ab(a+b) \). Para cada par de \(  a^3+b^3 \) tan solo existe un \(  3ab(a+b) \), de tal modo que su suma proporciona una potencia de grado 3. Si añadimos a \(  3ab(a+b) \), \(  3ae \), de dicha ecuación, no obtenemos potencia de grado 3. Quizás obtengamos otra potencia, o quizás no.
Es decir, con \(  a^3+b^3 \) solo formaremos potencia de grado 3, si y solo si, le sumamos \(  3ab(a+b) \). Si a este último término le sumamos un \(  3ae \), podemos obtener potencia o no, pero nunca una potencia de grado 3. Porque con \(  a^3+b^3 \) única y exclusivamente obtenemos potencia de grado 3 si sumamos \(  3ab(a+b) \).
¿Cierto?
Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.
\(  (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \).
Toda potencia de grado 3, de cualquier entero, la podemos expresar mediante la ecuación facilitada por el Triángulo de Pascal mediante enteros. Excepto \(  1^3 \).
Para cada entero, su suma, \(  (a+b)^3 \), la indicamos tal que, \(  a^3+b^3+3ab(a+b) \). Para cada par de \(  a^3+b^3 \) tan solo existe un \(  3ab(a+b) \), de tal modo que su suma proporciona una potencia de grado 3. Si añadimos a \(  3ab(a+b) \), \(  3ae \), de dicha ecuación, no obtenemos potencia de grado 3. Quizás obtengamos otra potencia, o quizás no.
Es decir, con \(  a^3+b^3 \) solo formaremos potencia de grado 3, si y solo si, le sumamos \(  3ab(a+b) \). Si a este último término le sumamos un \(  3ae \), podemos obtener potencia o no, pero nunca una potencia de grado 3. Porque con \(  a^3+b^3 \) única y exclusivamente obtenemos potencia de grado 3 si sumamos \(  3ab(a+b) \).
¿Cierto?

No, no es cierto.

Las afirmaciones que marco en rojo son falsas.

Por ejemplo para \( a=2 \) y \( b=\color{red}7\color{black} \):

\( 2^3+7^{\color{red}3\color{black}}+\underbrace{3\cdot 2\cdot 7(\color{red}1404\color{black})}_{\neq 3ab(a+b)}=39^3 \)

Fíjate que aunque yo no fuese capaz de encontrar un ejemplo que mostrase que son falsas, serían en cualquier caso afirmaciones gratuitas, que no habrías justificado convenientemente. Pero es que aun encima hay contraejemplos.

Saludos.

CORREGIDO

[Gonzo]

Hola.

El contraejemplo no se ajusta a lo establecido.

Atentamente.