[Gonzo]

Tiempo atrás ya lo mencionamos, la secuencia de coeficientes del Triángulo de Pascal, por si sola, no tiene un factor común, porque en ambos extremos siempre tiene el 1. Por lo tanto el factor común lo tienen que aportar los números que se encuentren dentro del paréntesis. Con el objetivo de que todos los sumandos se puedan agrupar en una sola potencia de grado mayor que dos. Es decir las dos potencias iníciales se deben agrupar en una sola.
En referencia a la propiedad distributiva. La Conjetura indica que las tres potencias deben tener un exponente mayor que dos. Por lo tanto \(  (A^{z-2}A^2; (A^{z-2}(((A-1)*(A+1)+1))  \). En el caso de que podamos expresar la potencia en forma de dos sumandos, estos sumandos deben tener un factor común. Porque su suma debe expresarse en una sola potencia \(  (A^{z-2}A^2) \). El factor común no necesariamente debe ser A. Pero esta expresión, \(  A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y  \) (I) tiene que reducirse a un producto de números enteros, es decir a una potencia. Todos los sumandos tienen un factor común que es A o A=factor común (Fc)*número entero. Dicho de otro modo:
\(  Fc^x+Fc^y+y\cdot{}Fc^{y-1}n+\ldots +yFcn^{y-1}+n^y = Fc(Fc^{x-1}+yFc^{y-1}+\ldots +yFcn^{y-1}+yn^{y-1})+n^y  \).
Si n no tiene un factor común con Fc, la expresión I no alcanzara ser un producto tal que Fc·número entero y por consecuente una potencia. Recordemos que n^y es el único sumando que puede no tener un factor común con todos los demás sumandos.
Si I alcanza ser Fc·número entero, entonces, puede ser igual a Fc+Fc·(número entero-1), 2·Fc+Fc·(número entero-2), 3Fc+F·(número entero-3), etc. Por lo tanto el tercer componente de la Conjetura, si se expresa mediante dos números enteros también tiene factor común.

[Luis Fuentes]

Hola

En referencia a la propiedad distributiva. La Conjetura indica que las tres potencias deben tener un exponente mayor que dos. Por lo tanto \(  (A^{z-2}A^2; (A^{z-2}(((A-1)*(A+1)+1))  \). En el caso de que podamos expresar la potencia en forma de dos sumandos, estos sumandos deben tener un factor común.

La afirmación que pongo en negrita no está demostrada.

Porque su suma debe expresarse en una sola potencia \(  (A^{z-2}A^2) \). El factor común no necesariamente debe ser A. Pero esta expresión, \(  A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y  \) (I) tiene que reducirse a un producto de números enteros, es decir a una potencia. Todos los sumandos tienen un factor común que es A o A=factor común (Fc)*número entero.

La afirmación que pongo en negrita es nuevamente gratuita, no está demostrada.

Dicho de otro modo:
\(  Fc^x+Fc^y+y\cdot{}Fc^{y-1}n+\ldots +yFcn^{y-1}+n^y = Fc(Fc^{x-1}+yFc^{y-1}+\ldots +yFcn^{y-1}+yn^{y-1})+n^y  \).
Si n no tiene un factor común con Fc, la expresión I no alcanzara ser un producto tal que Fc·número entero y por consecuente una potencia. Recordemos que n^y es el único sumando que puede no tener un factor común con todos los demás sumandos.

Efectivamente si \( n \) no tiene un factor común con \( F_c \), entonces tal expresión \( (F_c^x+(F_c+n)^y) \) no dará un número múltiplo de \( F_c \); ¡pero eso es lo qué queremos demostrar (que si la suma es una potencia los tres factores tienen un divisor común)!. Es decir a priori no sabemos que tal expresión (I) tenga que tener factor común alguno con tal sumando; no podemos usar ese hecho para probar que \( n \) y \( F_c \) tienen un factor común.

Saludos.

[Gonzo]

Hola

Expresemos la Conjetura con \(  A^x+(A+b)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y  \) (I). Entonces \(  A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1})+n^y  \) . El sumando \(  n^y  \) es el único que puede no tener un factor común. Recordemos que toda la expresión (I) tiene que representarse mediante un producto, en el caso de que sea potencia. Por lo tanto si la expresamos a modo de producto \(  n^y  \) tiene un factor común con A. Si n^y no tiene un factor común con los demás sumandos no la podemos expresar en modo de producto y entonces nunca alcanzara ser potencia. Es decir \(  A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A))  \). Si \(  ((n^y)/A)  \) (II) es un número entero la expresión podrá alcanzar ser un producto de números y por lo tanto puede ser potencia. Veamos que si (I) es potencia (II) tiene que ser igual a un número entero. Recordemos que todos los demás sumandos tienen un factor común. Si (II) no es igual a un número entero. (I) no alcanzara ser potencia. En otras palabras para que se cumpla la Conjetura (II) debe tener un factor común con los demás sumandos de (I) es condición necesaria que no suficiente.

¿Qué ocurriría si \(  n^y  \) no tuviera un factor común? Pues que sería el único sumando que no tendría un factor común con los demás sumandos. Porque todos los demás tienen un factor común.

Veamos la siguiente expresión \(  3^3+4^3+5^3=6^3  \) expresémosla mediante \(  3^3+(3+1)^3+(3+2)^3=(3+3)^3  \). (III) El 1 y el 2 del segundo y tercer sumando no tienen un factor común con 3. \( 3^3+(3+1)^3+(3+2)^3= (3^3)+(3^3+3\cdot{}3^2\cdot{}1+3\cdot{}3\cdot{}1^2+1^3+(3^3+3\cdot{}3^2\cdot{}2+3\cdot{}3\cdot{}2^2+2^3) \).

Démonos cuenta que 1^3 y 2^3 son los únicos que no tienen factor común. Pero si los sumamos, su suma es 9 y esta si que tiene un factor común con 3. Entonces podemos expresar la suma a modo de producto es decir 3·(número entero). Condición necesaria que no suficiente, para que (III) sea potencia.

Si intentamos obtener alguna potencia con \(  3^3+(3+1)^3  \) es fácil observar que todos los sumandos tendrán un factor común excepto el 1. Entonces este ejemplo no lo podremos expresar a modo de producto. Recordemos que es condición necesaria, por lo tanto, no la podemos expresar en modo de producto y por lo tanto nunca alcanzará ser potencia.

Si dicho ejemplo lo generalizamos \(  A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y  \) (I) vemos que para que alcance la condición necesaria, es decir que la podamos expresar a modo de producto n tiene que tener un factor común con A. Porque todos los demás sumandos tienen el factor común. Y tampoco hay un tercer sumando conforme el ejemplo que tenga otro número que se le pueda sumar para alcanzar el factor común. Recordemos que para que se cumpla la Conjetura debe cumplirse tambien la condición necesaria y por lo tanto, la n de la Expresión I tiene que tener un factor común con el resto de los sumandos.

[feriva]

Hola

Expresemos la Conjetura con \(  A^x+(A+b)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y  \) (I). Entonces \(  A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1})+n^y  \) . El sumando \(  n^y  \) es el único que puede no tener un factor común. Recordemos que toda la expresión (I) tiene que representarse mediante un producto, en el caso de que sea potencia. Por lo tanto si la expresamos a modo de producto \(  n^y  \) tiene un factor común con A. Si n^y no tiene un factor común con los demás sumandos no la podemos expresar en modo de producto y entonces nunca alcanzara ser potencia. Es decir \(  A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A))  \). Si \(  ((n^y)/A)  \) (II) es un número entero la expresión podrá alcanzar ser un producto de números y por lo tanto puede ser potencia. Veamos que si (I) es potencia (II) tiene que ser igual a un número entero. Recordemos que todos los demás sumandos tienen un factor común. Si (II) no es igual a un número entero. (I) no alcanzara ser potencia. En otras palabras para que se cumpla la Conjetura (II) debe tener un factor común con los demás sumandos de (I) es condición necesaria que no suficiente.

Hola. Pero no veo que aquí  \(  A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A))  \), "A" tenga que dividir a \( n^y \) ni nada así, ese sumando será un entero al multiplicar por la distributiva porque "A" se cancela, es como si tienes \( 3(\dfrac{7}{3}) \), tres no tiene ningún factor común con 7, pero esa expresión da un entero al multiplicar. Vamos, si te estoy entendiendo, que no sé.

Saludos.

[Gonzo]

Hola

Expresemos la Conjetura con \(  A^x+(A+b)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y  \) (I). Entonces \(  A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1})+n^y  \) . El sumando \(  n^y  \) es el único que puede no tener un factor común. Recordemos que toda la expresión (I) tiene que representarse mediante un producto, en el caso de que sea potencia. Por lo tanto si la expresamos a modo de producto \(  n^y  \) tiene un factor común con A. Si n^y no tiene un factor común con los demás sumandos no la podemos expresar en modo de producto y entonces nunca alcanzara ser potencia. Es decir \(  A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A))  \). Si \(  ((n^y)/A)  \) (II) es un número entero la expresión podrá alcanzar ser un producto de números y por lo tanto puede ser potencia. Veamos que si (I) es potencia (II) tiene que ser igual a un número entero. Recordemos que todos los demás sumandos tienen un factor común. Si (II) no es igual a un número entero. (I) no alcanzara ser potencia. En otras palabras para que se cumpla la Conjetura (II) debe tener un factor común con los demás sumandos de (I) es condición necesaria que no suficiente.

Hola. Pero no veo que aquí  \(  A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A))  \), "A" tenga que dividir a \( n^y \) ni nada así, ese sumando será un entero al multiplicar por la distributiva porque "A" se cancela, es como si tienes \( 3(\dfrac{7}{3}) \), tres no tiene ningún factor común con 7, pero esa expresión da un entero al multiplicar. Vamos, si te estoy entendiendo, que no sé.

Saludos.

Efectivamente al dividir el n^y entre A y al mismo tiempo incluirlo en el parentesis multiplicado por A, la resultante es n^y. La cuestión es que si n^y tiene un factor común con los demás sumandos, entonces pudede cumplir conjetura. En caso contrario no la cumplira.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Efectivamente al dividir el n^y entre A y al mismo tiempo incluirlo en el parentesis multiplicado por A, la resultante es n^y. La cuestión es que si n^y tiene un factor común con los demás sumandos, entonces pudede cumplir conjetura. En caso contrario no la cumplira.

¡Pero en eso si estamos de acuerdo!.

Si en:

\( A^x+(A+n)^y=(A+b)^z \)

\( n \) y \( A \) no tiene factores comunes, entonces la conjetura no se cumpliría; y equivalentemente, si la conjetura se cumple \( n \) y \( A \) deben de tener factores comunes.

Si es eso lo que estás queriendo decir todo el tiempo, nada que objetar; pero debes de tener claro que ahí no estás probando en absoluto la conjetura, son reescribiéndola mínimamente de una forma (trivialmente) equivalente. ¿Lo tienes claro?.

Saludos.

[Gonzo]

Me cuesta.
\( A^x+(A+n)^y \).
Dicha expresion ha de alcanzar ser un producto,  condicion necesaria para llegar a ser potencia.  De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicacion, si solo uno de los sumandos no comparte factor comun, la expresion, toda eĺla  no la podremos agrupar en un producto, por lo tanto, la conjetura no cumple.  Esto no implica que  los fres factores compartan ffactor comun si la conjetura cumple?

[Luis Fuentes]

Hola

Esto no implica que  los fres factores compartan ffactor comun si la conjetura cumple?

Sin entrar en los razonamientos que te lleven a hacer esa afirmación. ¡Qué los tres factores comparten factor común si la conjetura cumple, es una obviedad, es justo lo que dice la conjetura!.

Entonces cualquier cosa que puedas deducir bajo la hipótesis de que la conjetura se cumpla no te va a servir para probar que efectivamente se cumple, porque si desde el principio suponemos que tal conjetura es cierta ya no tenemos nada que probar.

Así que si realmente crees que estás probando la conjetura, evita trabajar bajo el condicionante "si la conjetura se cumple...", porque en el momento que lo uses ya no estás demostrando nada útil de cara a su verificación.

Saludos.

[Gonzo]

\( A^x+(A+n)^y \).

Dicha expresion ha de alcanzar ser un producto,  condicion necesaria para llegar a ser potencia.  De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicacion, si solo uno de los sumandos no comparte factor comun, la expresion, toda eĺla  no la podremos agrupar en un producto, por lo tanto, la conjetura no cumple.  Esto no implica que  los fres factores compartan factor comun si la expresion llega a ser potencia?

Rectifico.

[Luis Fuentes]

Hola

\( A^x+(A+n)^y \).

Dicha expresion ha de alcanzar ser un producto,  condicion necesaria para llegar a ser potencia.

Correcto.

  De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicacion, si solo uno de los sumandos no comparte factor comun, la expresion, toda eĺla  no la podremos agrupar en un producto, por lo tanto, la conjetura no cumple.

Falso.

Por ejemplo si tienes:

\( 5^7+(5+6)^3=79456=2^5\cdot 13\cdot 191 \)

Los factores \( A=5 \) y \( n=6 \) no tienen factor común  y sin embargo la expresión \( A^5+(A+n)^3=79456 \) se factoriza en un producto de varios factores primos distintos (con alguno de ellos elevado a una cierta potencia).

Evidentemente este ejemplo no tira abajo la conjeutra de Beal, porque \( 79456 \) no es una potencia no trivial de otro entero, pero si tira abajo tu arguemento de que para que \( A^x+(A+n)^y \) sea un producto \( A \) y \( n \) han de tener factores comunes.

Si tu en realidad querías decir que para que \( A^x+(A+n)^y \) sea una potencia de un entero, entonces \( A \) y \( n \) han de tener factores comunes, entonces probablemente estés en lo cierto porque eso es exactamente lo que afirma la conjetura de Beal; pero el problema es dar un argumento para demostrar ese hecho. Y no lo has dado (ni tu ni nadie, porque en otro caso tal conjetura estaría probada).

Saludos.