Hola Oramys.
No es demasiado fácil esto. Supongo, para no complicar innecesariamente las cosas, que los rectángulos del enunciado están todos alineados con los ejes.
Mi ayuda es: Primero haz el caso en que la colección es finita. Para el caso infinito usa que el rectágulo Q (o su clausura, si no es cerrado) es compacta.
caso finito
La idea no es complicada pero... seguro no es nada fácil de escribir!
Supongamos que el rectángulo cubierto es \( Q=[a_x,b_x]\times[a_y,b_y]\times[a_z,b_z] \) y la colección finita que lo cubre es \( \displaystyle\mathcal C=\left([a_{x,i},b_{x,i}]\times[a_{y,i},b_{y,i}] \times[a_{z,i},b_{z,i}]\right)_{1\leq i\leq n} \).
Llamenos
\( \mathcal X:=\{a_{x,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{b_{x,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{a_x,b_x\} \)
al conjunto de todas las coordenadas x de los bordes de los rectángulos. De la misma manera podemos armar:
\( \mathcal Y:=\{a_{y,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{b_{y,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{a_y,b_y\} \)
\( \mathcal Z:=\{a_{z,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{b_{z,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{a_z,b_z\} \)
Esos tres conjuntos finitos de números se pueden ordenar de menor a mayor y definir: \( x_i=\mbox{ i-\'esimo elemento de }\mathcal X \), \( y_j=\mbox{ j-\'esimo elemento de }\mathcal Y \), \( z_k=\mbox{ k-\'esimo elemento de }\mathcal Z \).
Tomemos ahora la colección finita de rectángulos dada por \( \mathcal D:=\{[x_i,x_{i+1}]\times[y_j,y_{j+1}]\times[z_k,z_{k+1}]\}
_\substack{1\leq i\leq n_1-1\\1\leq j\leq n_2-1\\1\leq k\leq n_3-1} \)
Se puede ver sin dificultad que,
\( \displaystyle\forall F\in\mathcal C\cup\{Q\},\,F=\bigcup_{\substack{G\in\mathcal D\\G\subseteq F}}G \).
Y si \( F=[x_{k_1},x_{l_1}]\times[y_{k_2},y_{l_2}]\times[z_{k_3},z_{l_3}] \) entonces
\( \begin{align*}v(F)&=(x_{l_1}-x_{k_1})(y_{l_2}-y_{k_2})(z_{l_3}-z_{k_3})=\\
&=\sum_{i=k_1}^{l_1-1}(x_{i+1}-x_i)\sum_{i=k_2}^{l_2-1}(y_{i+1}-y_i)\sum_{i=k_3}^{l_3-1}(z_{i+1}-z_i)=\\
&=\sum_{i=k_1}^{l_1-1}\sum_{j=k_2}^{l_2-1}\sum_{k=k_3}^{l_3-1}(x_{i+1}-x_i)(y_{j+1}-y_j)(z_{k+1}-z_k)=\\
&=\sum_{\substack{G\in\mathcal D\\G\subseteq F}}v(G)
\end{align*}
\)
Ahora, \( \forall G\in\mathcal D,\,G\subseteq R\Rightarrow \exists F\in \mathcal C,G\subseteq F \) y por lo tanto
\( \displaystyle v(R)=\sum_{\substack{G\in\mathcal D\\G\subseteq R}} v(G)\leq\sum_{\substack{G\in\mathcal D\\ \exists F\in \mathcal C,G\subseteq F}}v(G)\leq\sum_{i=1}^n v(Q_i) \).
caso infinito
Supongamos ahora que \( \displaystyle Q\subseteq\bigcup_{i\in\mathbb N}Q_i \).
Para todo \( \epsilon>0 \) sea \( B_i \) un rectángulo abierto tal que \( Q_i\subseteq B_i \) y \( v(B_i)\leq v(Q_i)+\epsilon/2^{i+1} \).
Entonces los \( B_i \) cubren Q, y como Q es compacto puede elegirse un subconjunto finito, \( (B_{i_k})_{1\leq k\leq m} \), que también cubre Q. Entonces la clausura de esos rectángulos abiertos también cubre Q y usando el caso finito sabemos que,
\( \displaystyle v(Q)\leq\sum_{k=1}^m v(B_{i_k})\leq\sum_{i=1}^\infty v(B_i)\leq\sum_{i=1}^\infty\left(v(Q_i)+\epsilon/2^{i+1}\right)=\sum_{i=1}^\infty v(Q_i)+\epsilon \).
Y cómo esto vale para cualquier \( \epsilon \) positivo,
\( \displaystyle v(Q)\leq\sum_{i=1}^\infty v(Q_i) \)
