Ya. Leí que se lo comentaste a robinlambada. Lo que pasa es que ando un poco perdido con eso. Voy a utilizar fracciones entre paréntesis en lugar de símbolos de legendre porque no sé cómo se escriben en latex. Si no me equivoco, al aplicar la ley de reciprocidad cuadrática al caso que nos ocupa tenemos que:
\( \left(\displaystyle\frac{-3}{p}\right)\cdot{}\left(\displaystyle\frac{p}{-3}\right)=(-1)^{1-p} \)
La ley de reciprocidad no vale para primos negativos (salvo que adoptes algún convenio especial para definir el símbolo de Legendre con "denominador" negativo). Me parece mucho más práctico enunciar la ley de reciprocidad así:
Dados dos primos impares \( p, q \) (positivos), si al menos uno de ellos es congruente con 1 módulo 4, entonces \( (p/q) = (q/p) \) y, en caso contrario, \( (p/q) = -(q/p) \).La cuestión es cuándo \( -3 \) es un cuadrado módulo \( p \), es decir, cuándo \( (-3/p) = (-1/p)(3/p)=1 \).
Basta distinguir dos casos, según si \( p \) es congruente con \( 1 \) o con \( -1 \) módulo \( 4 \).
En el primer caso, tenemos que \( (-3/p) = (-1/p)(3/p) = (3/p) = (p/3) \), y será \( 1 \) si y sólo si \( p\equiv 1(\mbox{mód}3) \).
En el segundo caso tenemos que \( (-3/p) = (-1/p)(3/p) = -(3/p) = (p/3) \) y llegamos a la misma conclusión.
He usado la primera ley suplementaria, que dice que \( (-1/p)=1 \) si y sólo si \( p\equiv 1(\mbox{mód}\,4) \).
Y hablando de todo un poco. ¿Me podrías recomendar alguna demostración más o menos sencilla de esta ley?
La prueba más elemental que conozco es la que está en mi libro de álgebra (teorema 12.14). Creo que está sacada del libro de Baker.
https://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra2.pdf
