Autor Tema: Comentarios al hilo sobre el UTF para exponente 3

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14 Febrero, 2019, 09:32 am
Respuesta #120

martiniano

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Hola.

Antes de nada quisiera felicitar a Carlos Ivorra por el aporte.  :aplauso:.  Estoy leyendo el hilo despacito y me está encantando. Parece que por fin voy a poder entender el UTF con \( p=3 \). ¡Qué bien!

Una cosilla. Si no me equivoco tienes una errata en la tabla de la respuesta 4. Ya que, si he entendido bien el asunto, no hay enteros ciclotómicos de norma 10. ¿Verdad?

Un saludo.

14 Febrero, 2019, 11:13 am
Respuesta #121

Carlos Ivorra

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Una cosilla. Si no me equivoco tienes una errata en la tabla de la respuesta 4. Ya que, si he entendido bien el asunto, no hay enteros ciclotómicos de norma 10. ¿Verdad?

En efecto, el 10 era en realidad un 0. Gracias por la observación. Si te surge cualquier duda, no dejes de preguntar.

28 Febrero, 2019, 07:34 am
Respuesta #122

martiniano

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Hola Carlos Ivorra.

Me gustaría comentarte que parece que hay un pequeño problema con la utilización del latex en las indicaciones que das para demostrar el lema 4 en la respuesta 8 de la demostración. Pienso que es eso lo que ocurre porque hay un texto relativamente largo que aparece en cursiva y del tirón, sin espacios ni nada.

Saludos y gracias.

28 Febrero, 2019, 12:47 pm
Respuesta #123

Carlos Ivorra

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Me gustaría comentarte que parece que hay un pequeño problema con la utilización del latex en las indicaciones que das para demostrar el lema 4 en la respuesta 8 de la demostración. Pienso que es eso lo que ocurre porque hay un texto relativamente largo que aparece en cursiva y del tirón, sin espacios ni nada.

Arreglado. ¡Gracias!

04 Marzo, 2019, 07:58 pm
Respuesta #124

martiniano

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Hola.

Eso prueba que todo primo \( p \) que sea una norma es de la forma \( p=3 \) o \( p=6n+1 \). Probar el recíproco es más difícil.

La implicación contraria tiene más historia. El truco está aquí: dado cualquier número entero \( n \), se cumple que

\( (n-\omega)(n-\omega^2)=n^2+n+1 \).

Dado un primo \( p\equiv 1(\mod 3) \), imagina que podemos probar que existe un \( n \) tal que \( p\mid n^2+n+1 \). Entonces \( p\mid (n-\omega)(n+\omega) \), pero es fácil ver que \( p \) no divide a ninguno de los factores, y eso implica que no es primo ciclotómico (por la factorización única, los primos que dividen a un producto tienen que ser los que dividen a los factores), que es lo que queremos probar.

Así pues, todo se reduce a ver que la congruencia \( x^2+x+1\equiv 0(\mod p) \) tiene solución siempre que \( p\equiv 1(\mod 3) \). Con esto el problema se reduce a un problema de congruencias de números enteros.

La fórmula de la ecuación de segundo grado es aplicable módulo p, por lo que a su vez el problema se reduce a que el discriminante \( -3 \) sea un cuadrado módulo \( p \). En resumen, todo consiste en probar que si \( p\equiv 1(\mod 3) \) entonces existe un \( m \) tal que \( -3\equiv m^2(\mod p) \).

Si quieres investigar eso, tendrás que buscar información sobre la Ley de Reciprocidad Cuadrática de Gauss. Seguro que hay mucho sobre eso en internet.

Pues es que resulta que andaba yo hace un tiempo detrás de un enunciado que decía:

Sea \( p>2 \) primo. Demostrar que existen \( n,m\in{\mathbb{Z}} \) tales que \( p=n^2+nm+m^2 \) si y sólo si \( P=x^2+x+1 \) factoriza en \( \mathbb{Z_p}\left[x\right] \)

Concretamente me faltaba por demostrar la implicación de derecha a izquierda y resulta que entre Carlos Ivorra, en su exposición que se comenta aquí, y todos los que andabais con la pregunta de qué números primos son normas de enteros ciclotómicos habéis demostrado lo mismo pero enunciado de otra manera. Estupendo, gracias.  ;)

El caso es que buscando yo solución a mi problema encontré algo de lo que habéis hablado. Se trata de demostrar que si la ecuación \( x^2+x+1\equiv{0}\,(mod\,{p}) \) tiene solución para \( p>3 \) primo, entonces \( p\equiv{1}\,(mod{}\,3) \). Sé que hace mucho que habéis hablado de todo esto, pero lo subo por si interesa a alguien. Hacen falta de algunos resultados previos en teoría de grupos y de cuerpos que puedo subir si alguien me lo solicita. Comentarios y críticas son bienvenidos por mi parte:

Spoiler
La clave está en que el grupo multiplicativo de \( \mathbb{Z_p} \) es isomorfo a \( \mathbb{Z_{p-1}} \). Entonces, si \( p-1\not\equiv{0}\,(mod\,{3}) \), dicho grupo multiplicativo no tiene elementos de orden tres y \( 1 \) es la única raíz de \( x^3-1\equiv{0\,(mod\,{p})} \). Al ser \( x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \) y no ser \( 1 \) raíz de \( x^2+x+1 \), pues \( x^2+x+1 \) no tiene raíces módulo \( p \)
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Yo creo que es correcto. Un saludo.

04 Marzo, 2019, 11:15 pm
Respuesta #125

Carlos Ivorra

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Yo creo que es correcto.

Es correcto, y para ese caso concreto es, probablemente, la solución más corta. Pero insisto en que para este tipo de problemas te sería útil la ley de reciprocidad cuadrática. En general, que \( x^2+x+1 \) tenga raíces módulo \( p \) equivale a que su discriminante, que es \( -3 \) sea un cuadrado módulo \( p \), y la ley de reciprocidad cuadrática permite estudiar fácilmente cúando un entero es un cuadrado módulo un primo.

05 Marzo, 2019, 08:30 am
Respuesta #126

martiniano

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Hola.

Es correcto, y para ese caso concreto es, probablemente, la solución más corta. Pero insisto en que para este tipo de problemas te sería útil la ley de reciprocidad cuadrática. En general, que \( x^2+x+1 \) tenga raíces módulo \( p \) equivale a que su discriminante, que es \( -3 \) sea un cuadrado módulo \( p \), y la ley de reciprocidad cuadrática permite estudiar fácilmente cúando un entero es un cuadrado módulo un primo.

Ya. Leí que se lo comentaste a robinlambada. Lo que pasa es que ando un poco perdido con eso. Voy a utilizar fracciones entre paréntesis en lugar de símbolos de Legendre porque no sé cómo se escriben en latex. Si no me equivoco, al aplicar la ley de reciprocidad cuadrática al caso que nos ocupa tenemos que:

\( \left(\displaystyle\frac{-3}{p}\right)\cdot{}\left(\displaystyle\frac{p}{-3}\right)=(-1)^{1-p} \)

¿Y ahora qué? Intenté aplicar el criterio de Euler a alguno de los factores de la izquierda, pero no llegué a nada.

Un saludo y gracias

05 Marzo, 2019, 08:36 am
Respuesta #127

martiniano

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Vale, ya está, sí.

Fórmulas levemente editadas
Lo de la derecha es 1. Y \( \genfrac(){}{0}{p}{-3} \) es uno si y sólo si \( p\equiv{1\,(mod 3)} \). Con lo que ya está :D.

A veces escribiendo la duda ya se resuelve sola. Jajaja

Y hablando de todo un poco. ¿Me podrías recomendar alguna demostración más o menos sencilla de esta ley?

Un saludo, y gracias.

05 Marzo, 2019, 09:12 am
Respuesta #128

manooooh

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Hola

(...) Voy a utilizar fracciones entre paréntesis en lugar de símbolos de legendre porque no sé cómo se escriben en latex. (...)

Off-topic
Podés utilizar el comando \genfrac provisto por el paquete amsmath (funciona en el foro) o bien seguir las recomendaciones de esta excelente respuesta, aunque claro, muchas de ellas son imposibles de aplicar en MathJax :P.
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Saludos

05 Marzo, 2019, 09:35 am
Respuesta #129

martiniano

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Hola.

Podés utilizar el comando \genfrac provisto por el paquete amsmath (funciona en el foro) o bien seguir las recomendaciones de esta excelente respuesta, aunque claro, muchas de ellas son imposibles de aplicar en MathJax :P.

Gracias. Lo he cambiado en mi última respuesta. Era más que nada curiosidad, y ya veo que queda exactamente igual, por lo menos en mi ordenador.

Un saludo.

05 Marzo, 2019, 11:39 pm
Respuesta #130

Carlos Ivorra

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Ya. Leí que se lo comentaste a robinlambada. Lo que pasa es que ando un poco perdido con eso. Voy a utilizar fracciones entre paréntesis en lugar de símbolos de legendre porque no sé cómo se escriben en latex. Si no me equivoco, al aplicar la ley de reciprocidad cuadrática al caso que nos ocupa tenemos que:

\( \left(\displaystyle\frac{-3}{p}\right)\cdot{}\left(\displaystyle\frac{p}{-3}\right)=(-1)^{1-p} \)

La ley de reciprocidad no vale para primos negativos (salvo que adoptes algún convenio especial para definir el símbolo de Legendre con "denominador" negativo). Me parece mucho más práctico enunciar la ley de reciprocidad así:

Dados dos primos impares \( p, q \) (positivos), si al menos uno de ellos es congruente con 1 módulo 4, entonces \( (p/q) = (q/p) \) y, en caso contrario, \( (p/q) = -(q/p) \).


La cuestión es cuándo \( -3 \) es un cuadrado módulo \( p \), es decir, cuándo \( (-3/p) = (-1/p)(3/p)=1 \).

Basta distinguir dos casos, según si \( p \) es congruente con \( 1 \) o con \( -1 \) módulo \( 4 \).

En el primer caso, tenemos que  \( (-3/p) = (-1/p)(3/p) = (3/p) = (p/3) \), y será \( 1 \) si y sólo si \( p\equiv 1(\mbox{mód}3) \).

En el segundo caso tenemos que \( (-3/p) = (-1/p)(3/p) = -(3/p) = (p/3) \) y llegamos a la misma conclusión.

He usado la primera ley suplementaria, que dice que \( (-1/p)=1 \) si y sólo si \( p\equiv 1(\mbox{mód}\,4) \).

Y hablando de todo un poco. ¿Me podrías recomendar alguna demostración más o menos sencilla de esta ley?

La prueba más elemental que conozco es la que está en mi libro de álgebra (teorema 12.14). Creo que está sacada del libro de Baker.

https://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra2.pdf



06 Marzo, 2019, 08:07 am
Respuesta #131

manooooh

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Hola

Obviamente no quisiera que nadie se sintiera presionado. Todo lo que digo para animar a la gente a zambullirse lo digo porque tengo la sospecha de que muchos pueden pensar que esto es más complicado que lo que realmente es. Por supuesto, si alguien anda mal de tiempo o simplemente no le apetece, hará muy bien en no hacerme caso, pero en ausencia de esas dos contraindicaciones, de momento todo es cuestión de convencerse de que es fácil sumar, restar, multiplicar y dividir números ciclotómicos. En cuanto veas que es así, habrás asimilado lo que son realmente estos números y lo que supone trabajar con ellos.

¿Recomendarías a un estudiante de ingeniería aprender sobre esos números? Voy leyendo partes aisladas y me parecen muy bonitas (quizás porque es algo que nunca hice y lo considero como un "nivel superior" a los típicos números reales que vengo operando desde hace años y que ya medio cansan).

Saludos

06 Marzo, 2019, 02:59 pm
Respuesta #132

martiniano

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Hola.

La ley de reciprocidad no vale para primos negativos

Pues claro, no sé en qué estaba yo pensando. La expresión \( (p/-3) \) no parece que pueda tener demasiado sentido en el contexto habitual.

La cuestión es cuándo \( -3 \) es un cuadrado módulo \( p \), es decir, cuándo \( (-3/p) = (-1/p)(3/p)=1 \).

Basta distinguir dos casos, según si \( p \) es congruente con \( 1 \) o con \( -1 \) módulo \( 4 \).

En el primer caso, tenemos que  \( (-3/p) = (-1/p)(3/p) = (3/p) = (p/3) \), y será \( 1 \) si y sólo si \( p\equiv 1(\mbox{mód}3) \).

En el segundo caso tenemos que \( (-3/p) = (-1/p)(3/p) = -(3/p) = (p/3) \) y llegamos a la misma conclusión.

Todo clarísimo, gracias.

He usado la primera ley suplementaria, que dice que \( (-1/p)=1 \) si y sólo si \( p\equiv 1(\mbox{mód}\,4) \).

Sí. Eso sí que lo tengo entre mis apuntes. Es una consecuencia del criterio de Euler.

La prueba más elemental que conozco es la que está en mi libro de álgebra (teorema 12.14). Creo que está sacada del libro de Baker.

Perfecto. Gracias. Pues intentaré estudiarla desde ahí. Es que siempre que he tocado este tema lo he acabado dejando precisamente al llegar a la ley de reciprocidad cuadrática, porque hasta ahora no he encontrado una demostración que me resultase razonablemente asequible. He mirado la tuya por encima y parece que sí que la voy a poder entender.

Un saludo, y gracias de nuevo.

06 Marzo, 2019, 11:36 pm
Respuesta #133

Carlos Ivorra

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¿Recomendarías a un estudiante de ingeniería aprender sobre esos números? Voy leyendo partes aisladas y me parecen muy bonitas (quizás porque es algo que nunca hice y lo considero como un "nivel superior" a los típicos números reales que vengo operando desde hace años y que ya medio cansan).

Depende de en qué sentido entiendas lo de "recomendar a un estudiante de ingeniería". Si te refieres a si es algo que le podrá ser útil, la respuesta es no. Si te refieres a si es algo que puede entender, creo que ingmarov es ingeniero o estudiante de ingeniería, y siguió el hilo a la perfección.

07 Marzo, 2019, 05:41 pm
Respuesta #134

martiniano

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¿Recomendarías a un estudiante de ingeniería aprender sobre esos números? Voy leyendo partes aisladas y me parecen muy bonitas (quizás porque es algo que nunca hice y lo considero como un "nivel superior" a los típicos números reales que vengo operando desde hace años y que ya medio cansan).

Depende de en qué sentido entiendas lo de "recomendar a un estudiante de ingeniería". Si te refieres a si es algo que le podrá ser útil, la respues

Bueno. Yo creo que nunca se sabe, en realidad... Desde luego la inmensa mayoría de ingenieros se jubilarán sin haber usado nunca un entero ciclotómico. Sin embargo, la teoría de cuerpos finitos, por ejemplo, tiene aplicaciones en criptografía, por ejemplo. Y para entender eso bien no viene mal una base en teoría de anillos, donde los enteros ciclotómicos pueden aparecer de forma natural.

Un saludo.

30 Abril, 2019, 03:53 am
Respuesta #135

argentinator

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Hola

¿Recomendarías a un estudiante de ingeniería aprender sobre esos números? Voy leyendo partes aisladas y me parecen muy bonitas (quizás porque es algo que nunca hice y lo considero como un "nivel superior" a los típicos números reales que vengo operando desde hace años y que ya medio cansan).

Depende de en qué sentido entiendas lo de "recomendar a un estudiante de ingeniería". Si te refieres a si es algo que le podrá ser útil, la respues

Bueno. Yo creo que nunca se sabe, en realidad... Desde luego la inmensa mayoría de ingenieros se jubilarán sin haber usado nunca un entero ciclotómico. Sin embargo, la teoría de cuerpos finitos, por ejemplo, tiene aplicaciones en criptografía, por ejemplo. Y para entender eso bien no viene mal una base en teoría de anillos, donde los enteros ciclotómicos pueden aparecer de forma natural.

Un saludo.

Comparto esta respuesta de Martiniano.
Más aún, considero que es de mucha ayuda para aprender ciertos temas complicados de matemática
el disponer de una aplicación concreta donde se ilustre el uso de los cálculos.
Sirve de motivación para estudiar un tema teórico, y allana el camino de los aspectos difíciles.
Considero además que la matemática de buen nivel en general se la encuentra (o encontrará) asociada a interesantes aplicaciones.

Saludos.

30 Abril, 2019, 04:21 am
Respuesta #136

manooooh

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Hola argentinator

Considero además que la matemática de buen nivel en general se la encuentra (o encontrará) asociada a interesantes aplicaciones.

¿Podrías definir lo que es la matemática de buen nivel, por favor? Tengo algunas dudas al respecto.

El miedo que yo tengo es que las matemáticas aplicadas no sean tan rigurosas como la lógica, o en un estracto superior el cálculo, el álgebra... ¿Esto es un mito?

Saludos

30 Abril, 2019, 05:13 am
Respuesta #137

argentinator

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Hola argentinator

Considero además que la matemática de buen nivel en general se la encuentra (o encontrará) asociada a interesantes aplicaciones.

¿Podrías definir lo que es la matemática de buen nivel, por favor? Tengo algunas dudas al respecto.

El miedo que yo tengo es que las matemáticas aplicadas no sean tan rigurosas como la lógica, o en un estracto superior el cálculo, el álgebra... ¿Esto es un mito?

Saludos

No sé dar la definición que me pedís.

Y a todo se le puede dar tanto rigor como haga falta.

Además me estoy dando cuenta de que estamos desviando demasiado el tema central del hilo.