TEMA 1 - EL ESPACIO PROYECTIVO1.1 - Definición y primeros ejemplosNotación: A partir de ahora supondremos que \( \mathbb{K} \) es un cuerpo de característica cero, como lo pueden ser \( \mathbb{R, C} \).
Definición: Un espacio proyectivo sobre \( \mathbb{K} \) de dimensión n es una terna \( (\mathbb{P},E,\pi) \) dónde:
- 1- \( \mathbb{P} \) es un conjunto a cuyos elementos llamaremos puntos. Es dónde colocaremos las figuras.
- 2- E es un espacio vectorial sobre \( \mathbb{K} \) de dimensión n+1
- 3- \( \pi \) es una aplicación \( \pi : E - \left\{{0}\right\} \longrightarrow{} \mathbb{P} \)tal que:
- a) Es exhaustiva.
- b) \( \forall v,w\neq 0: \pi (v) = \pi (w) \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}: v= \lambda w \)
Notación: Antes de continuar resolveremos algunos problemas de notaciones. Notaremos \( [v]:=\pi(v) \) y diremos que \( [v] \) es el punto representado por v. A su vez, diremos que v es un representante de \( [v] \).
Observación: No existe \( [0] \), es decir, \( [v] \) sólo está definido para \( v\neq 0 \). Ahora podemos escribir las condiciones que tiene que cumplir \( \pi \) con esta nueva notación:
- Todo \( p \in \mathbb{P} \) se puede escribir \( p=[v] \)
- \( [v]=[w] \Leftrightarrow \exists \lambda: v= \lambda w \)
Ejemplo 1: Sea \( E \) un espacio vectorial sobre \( \mathbb{K} \). Cosideremos \( E -\left\{{0}\right\} \). Definimos la siguiente relación de equivalencia:
\( v\sim w \Leftrightarrow \exists \lambda : v= \lambda w \)
Consideremos ahora el conjunto cociente \( \mathbb{P}= E-\left\{{0}\right\}/ \sim \); y la aplicación:
\( E-\left\{{0}\right\}\longrightarrow E-\left\{{0}\right\}/\sim \)
\( v \longmapsto \overline{v} \)
Este espacio proyectivo se llama el
proyectivizado de E, notado \( \mathbb{P}(E) \) y en algunos libros aparece como definición de espacio proyectivo.
Ejemplo 2: Sea \( \mathbb{A}_{2} \)el plano afín y \( O \) un origen. Sea \( \mathbb{P} \) el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen \( O \). Tomamos \( E=\mathbb{R}^{2} \), y consideramos la aplicación:
\( \pi: \mathbb{R}^{2} - \left\{{0}\right\}\longrightarrow \left\{{rectas \, por\, O}\right\} \)
\( (a,b) \longmapsto \, ax \, + \, by \, = \, 0 \)
Tenemos que \( \pi \) es exhaustiva porque todas las rectas que psaan por el origen son de esta forma.
Además, sabemos que dos ecuaciónes de este tipo representan a la misma recta si y sólo si los coeficientes \( (a,b) \) son proporcionales. Observemos que \( \mathbb{P} \) tiene dimensión 1.
1.2 - Variedades lineales. Incidencia de variedades lineales.1.2.1 - Variedades linealesDefinición: Un subconjunto \( L \subset \mathbb{P} \) es una
variedad lineal si y sólo si existe \( F \subset E \) subespacio vectorial de E tal que \( \pi (F - \left\{{0}\right\}) = L \).
Notación: Notaremos \( [F] := L \) como la variedad definida por F.
Ejemplo 1: Si \( F=\left\{{0}\right\} \), entonces \( [\left\{{0}\right\}]= \emptyset \). Es decir, el conjunto vacío es la variedad lineal definida por el espacio 0, como acabamos de ver, al contrario de lo que pasaba en geometría lineal, dónde no se consideraba el conjunto vacío como espacio afín. Esto es simplemente una cuestión de convenio.
Ejemplo 2: Si \( F=E \) entonces \( [E]=\mathbb{P} \)
Ejemplo 3: Si \( F=\left<{v}\right> \), con \( v\neq{0} \), entonces \( [\left<{v}\right>]=\left\{{[v]}\right\} \).
Nuestro próximo objetivo es discernir que es lo que pasa si \( [F]=[F'] \)
Observemos en primer lugar que \( F-\left\{{0}\right\}= \pi^{-1}(L) \), es decir,
\( F= \pi^{-1}(L)\cup \left\{{0}\right\} \)
Tenemos entonces que \( \pi^{-1}(L) \) son todos los representantes de puntos de L, de forma que contestamos a la pregunta que hemos planteado. Es decir, que \( [F]=[F'] \) si y sólo si \( F=F' \).
Pero aún tenemos que demostrar la igualdad que hemos remarcado.
Es equivalente a demostrar que \( F-\left\{{0}\right\}=\pi^{-1}(L) \). Para ello, hay que ver las dos inclusiones.
En primer lugar, veremos que \( F-\left\{{0}\right\}\subset \pi^{-1} (L). \)Tenemos que:
\( v \in \pi^{-1}(L) \Leftrightarrow \pi (w) \in L \Leftarrow v \in F-\left\{{0}\right\} \)
Recíprocamente, supongamos que \( w\in \pi^{-1}(L) \), esto es equivalente a que \( \pi(w) \in L \), que a su vez nos dice que existe \( v \in F-\left\{{0}\right\} \) tal que \( \pi(v)=\pi(w) \).
Esto ocurre si y sólo si existe \( \lambda \) tal que \( v= \lambda w \). Por tanto, como F es subespacio, se tiene que \( w \in F-\left\{{0}\right\} \).
Definición: Podemos ahora definir la dimensión de L. Decimos que
\( dim\,L \; = \; dim \,[F] \;=\; dim\,F \;-\;1 \)
Veamos ahora diversos ejemplos de variedades lineales.
Ejemplo 4: \( \emptyset = [\left\{{0}\right\}] \) Y se tiene que \( dim\, \emptyset \; =\; -1 \)
Ejemplo 5: \( \mathbb{P}_{n}=[E] \) Y se tiene que \( dim\,\mathbb{P}_{n} \; =\; n \)
Ejemplo 6: Si tenemos \( p=[v] \), entonces \( \left\{{p}\right\}=[\left<{v}\right>] \) y además \( dim \left\{{p}\right\} \; =\; 0 \)
Definiremos ahora los siguientes objetos:
- Una recta es una variedad lineal de dimensión 1.
- Un plano es una variedad lineal de dimensión 2.
- Un hiperplano es una variedad lineal L tal que \( dim \; L \; = \; dim \; \mathbb{P} \; - 1 \)
Proposición: Sea \( L=[F] \) una variedad lineal de \( \mathbb{P} \) de dimensión d.
Entonces F y \( \pi_{|F-\left\{{0}\right\}}:F-\left\{{0}\right\}\longrightarrow L \) define en L estructura de espacio proyectivo de dimensión d.
Demostración:a) \( \pi_{|F-\left\{{0}\right\}} \) es exhaustiva por definición de L
b)\( \pi_{|F-\left\{{0}\right\}}(v)=\pi_{|F-\left\{{0}\right\}}(w) \) si y sólo si existe \( \lambda \) tal que \( v= \lambda w \), con \( v,w \in L \), ya que esto pasa más generalmente con \( \pi \)
1.2.2 - Incidencia de variedades lineales.Proposición: Sean \( L=[F],L'=[F'] \) variedades lineales. Entonces \( L\subset L' \; \Leftrightarrow \; F\subset F' \)
Demostración
Demostración: Veamos en primer lugar la implicación hacia la izquierda, es decir, supongamos \( F\subset F' \).Sean:
\( L=\pi(F-\left\{{0}\right\}) \) y \( L'=\pi(F')-\left\{{0}\right\} \).
Así si \( F\subset F' \), tenemos que \( F-\left\{{0}\right\}\subset F'-\left\{{0}\right\} \), que nos implica \( \pi(F-\left\{{0}\right\}) \subset \pi(F'-\left\{{0}\right\}) \).
Recíprocamente, supongamos que \( L\subset L' \).Entonces, \( \pi^{-1}(L) \subset \pi^{-1}(L') \). Pero tenemos que
\( \pi^{-1}(L)=F-\left\{{0}\right\} \) y \( \pi^{-1}(L')=F'-\left\{{0}\right\} \)
Por lo tanto, ya tenemos que \( F \subset F' \)
Sean \( L,L' \) variedades lineales. Se cumple entonces:
- \( L\subset L' \; \Rightarrow \; dim\,L \, \leq \, dim \, L' \)
- Si \( L\subset L' \) y además \( dim\, L = dim \, L' \). Entonces se cumple \( L=L' \)
Demostración
Demostración: Supongamos que \( L=[F] \) y \( L'=[F'] \). Entonces:
a) Si \( L \subset L' \), tenemos que \( F \subset F' \) por la proposición anterior. Esto nos dice que \( dimF \, \leq \, dimF' \). Así se tiene lo que buscamos:
\( dim \, L \; = \; dim \, F\; -1 \; \leq \; dim \, F' \; -1 \; = \; dim\, L' \)
b) Si \( L \subset L' \; \Rightarrow F\subset F' \). Pr otro lado,
\( dim\, L \; = dim \, L' \; \Rightarrow \; dim \, F \; = \; dim \, F' \)
Por lo tanto, ya sabemos que \( F=F' \), de forma que \( L=L' \)
(Continuará)
