Hola
Cuando decimos que $$\Bbb N$$ tiene infinitos elementos, simplemente estamos diciendo que no tiene un elemento último $$n$$. Y la contradicción estaría en considerar que $$\Bbb N$$, al ser infinito, tiene más elementos de los que tiene, que son todos naturales.
Estas obligando a que un conjunto (o ciertos conjuntos) tengan que tener entre sus elementos el símbolo que hemos elegido para representar su cardinal. ¿Por qué habría de ser así?. No hay ninguna contradicción ahí. Es simplemente una cosa que a ti parece que te gustaría que pasara y no pasa. Pero eso no es propio de los conjuntos infinitos. Ya te dije que \( \{12,1421\} \) no tiene entre sus elementos el símbolo que habitualmente usamos para definir el cardinal dos.
hola Luis.
mmm... no entiendo muy bien a qué viene discutir que el conjunto \( \{12,1421\} \) tiene o no tiene el 2. Des del principio me centro en los conjuntos del tipo \( A_n=\left\{{1,2,3,...,n}\right\} \).
Y me centro en este tipo específico de conjuntos porque precisamente en ellos se constata que su elemento más grande, $$n$$, siempre es, precisamente, su cardinal, con lo cual si vamos tomando $$n$$ cada vez más grandes hasta decidir que ya no existe un $$n$$ porque queremos indicar q el conjunto no termina nunca, entonces no existe un cardinal para tal conjunto.
Ciertamente podemos decir, entonces, que el cardinal es infinito, pero eso sólo significa que no hay cardinal, es decir, que no hay un último número que le dé tamaño y finitud al conjunto.
Ahora bien, si de esta idea, que acepto sin problemas, hacemos un salto lógico y pasamos a afirmar que para este conjunto que carece de un último elemento natural sí existe cardinal, pero tal cardinal ya no es ningún natural sino un tipo de número muy superior a los naturales, entonces estamos diciendo, no sólo que su cardinal no es ninguno de sus propios elementos, sino que será mucho mayor que cualquiera de sus elementos.
Por tanto, entiendo, eso indica que ese conjunto tiene más elementos de los que tiene, es decir, ese conjunto tiene un número de elementos mayor que cualquier número natural. Sin embargo, sólo tiene naturales
-todos los naturales posibles. ¿Me equivoco?
En tal sentido, pues, ello nos lleva a considerar que un conjunto tiene un número mayor de elementos de los que tiene. Y, ¿no es eso contradictorio?
Ya comenté una forma de entender acaso eso hace meses atrás, y era precisamente la que has dicho tu: nos inventamos un número supranatural, acaso el infinito natural, y listo. Si te acuerdas, propuse la existencia, dentro de los naturales, de números supranaturales. Estos se podrían representar como números naturales de infinitas cifras (incluso abrí un hilo al respecto).
Sin embargo, por aquel entonces me lo criticaste diciendo que esos números, vale, pero que no eran naturales, porque estaba muy bien definido lo que son los naturales. Para empezar, siempre son números finitos.
Por tanto, entiendo q esta opción que ahora propones no vale cuando hacemos frente a esta contradicción de considerar que un conjunto, como el de los naturales, tenga más elementos de los que tiene. ¿Qué hacemos entonces?
Es lo que planteo aquí.
Además, y no has contestado, te dije que eso sería fácilmente subsanable añadiendo a los naturales el símbolo \( \infty \) como un número mayor que todos los demás.
Es que no le di importancia, la verdad, porque no me parece una cuestión de símbolos como he comentado antes.
El símbolo \( \infty \) no significa, de por sí, que estemos algo más grande de lo normal (en este caso ante algo mayor que cualquier número natural), simplemente significa que estamos ante algo no tiene límite, ni fin, en este caso, no tiene un número natural que sea "el último y el mayor". Nada más. ¿No estás de acuerdo?
Por tanto, cuando dices:
\( A_1=\{1\} \)
\( A_2=\{1,2\} \) (todos los números del \( 1 \) al \( 2 \) ambos incluidos)
\( A_3=\{1,2,3\} \) (todos los números del \( 1 \) al \( 3 \) ambos incluidos)
\( A_{\infty}=\{1,2,3,\ldots,\infty\} \)(todos los números del \( 1 \) al \( \infty \) ambos incluidos)
Y todos cumplen eso que te gusta tanto de que su último elemento coincide con su cardinal.
pues, no tengo ningún problema en escribirlo, pero como ya he dicho no veo que eso indique que escribiendo \( A_\infty=\{1,2,3,\infty\} \) se esté realmente diciendo que este conjunto tenga un número de elementos mayor que cualquier conjunto \( A_n \), siendo, $$n$$, un natural. Porque, como ya he dicho, si así fuera entonces el conjunto de todos los naturales tendría un número de elementos mayor que todos los naturales, cosa que no puede ser porque sólo tiene los naturales.
Me parece que pones el foco en algo muy anecdótico.
Realmente lo chocante (concepto subjetivo) de un conjunto infinito, en todo caso, es que pueda ser biyectivo con un subconjunto propio. Que sea tan "grande" el conjunto de pares como el de todos los números naturales.
ESo lo interrpeto de otra forma
