Hola al Foro. Comparto mi solución.
Vamos a determinar el valor de las áreas de determinadas regiones numeradas en el gráfico:
\( (1) \) Por la razón k de semejanza entre los \( \triangle EPJ\ y\ \triangle EFK \), tenemos que \( k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\longrightarrow{(1)=\frac{1}{20}} \)
\( (1+2) \) Por la razón k' de semejanza entre los \( \triangle ELJ\ y\ \triangle GLI \), tenemos que \( k'=\displaystyle\frac{1}{2}\longrightarrow{(1+2)=\displaystyle\frac{1}{2}·\frac{1}{2}·\frac{1}{3}=\frac{1}{12}} \)
\( (2)=(1+2)-(1)=\displaystyle\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{1}{30} \)
\( (3)=\displaystyle\frac{1}{4} \)
\( (2+4) \) Por la razón k'' de semejanza entre los \( \triangle IPE\ y\ \triangle IEJ \), tenemos que \( k''=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\longrightarrow{(2+4)=\displaystyle\frac{4}{5}·\frac{1}{4}=\frac{1}{5}} \)
\( (4)=(2+4)-(2)=\displaystyle\frac{1}{5}-\frac{1}{30}=\frac{1}{6} \)
\( (5)=(3+4+5)-(3+4)=\displaystyle\frac{1}{2}-(\frac{1}{4}+\frac{1}{6})=\frac{1}{12} \)
\( (6)=(1+2)=\displaystyle\frac{1}{12} \)
\( (2+4+5+7)=4·(6)\rightarrow{(2+4+5+7)=\displaystyle\frac{1}{3}} \)
Por fin, tenemos que:
\( (7)=(2+4+5+7)-((2+4)+5)=\displaystyle\frac{1}{3}-(\frac{1}{5}+\frac{1}{12})=\frac{1}{20} \)
En definitiva, el área de la región sombreada LMNP es igual \( \displaystyle\frac{1}{20}u^2 \)
