Autor Tema: Regla de los trapecios compuesta, cota para calcular el número de nodos.

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21 Noviembre, 2017, 11:56 am
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garmonvir

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Hola,
No se cómo encontrar la cota de la segunda derivada para luego calcular el número de nodos necesarios para aproximar la integral de modo que el error sea menor que el valor que nos dan.

Consideramos la integral
\( I=\displaystyle\int_{-1}^{1} exp(x)(-x^2+3x-2) dx \)
Aproximar el valor de I usando la fórmula de los trapecios compuesta con un número de nodos suficiente para poder asegurar  que el error cometido es menor que \( 10^{-2} \)


Gracias.

21 Noviembre, 2017, 12:28 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola,
No se cómo encontrar la cota de la segunda derivada para luego calcular el número de nodos necesarios para aproximar la integral de modo que el error sea menor que el valor que nos dan.

Consideramos la integral
\( I=\displaystyle\int_{-1}^{1} exp(x)(-x^2+3x-2) dx \)
Aproximar el valor de I usando la fórmula de los trapecios compuesta con un número de nodos suficiente para poder asegurar  que el error cometido es menor que \( 10^{-2} \)

Pues si \( f(x)=e^x(-x^2+3x-2) \) derivando dos veces y simplificando, tienes:

\( f''(x)=e^x(2-x-x^2) \)

Una cota bruta en el intervalo \( [-1,1] \) es:

\( |e^x(2-x-x^2)|\leq |e^x|(|2|+|x|+|x^2|)\leq 4e<11 \)

Pues hacer una mucho más fina analizando los máximos y mínimos de la segunda derivada; si vuelves a derivar tienes:

\( f'''(x)=e^x(1-3x-x^2) \)

Se anula en \( [-1,1] \) en \( x_0=\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}-3) \) y viendo que el signo de la derivada es positivo a la izquierda y negativo a la derecha se ve que es un máximo.

Por tanto dado que la función \( f''(x) \) es siempre es positiva en \( [-1,1] \):

\( |f''(x)|\leq |f''(x_0)|=2.17329 \)

Saludos.

21 Noviembre, 2017, 12:31 pm
Respuesta #2

garmonvir

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21 Noviembre, 2017, 12:56 pm
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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Hola,
No se cómo encontrar la cota de la segunda derivada para luego calcular el número de nodos necesarios para aproximar la integral de modo que el error sea menor que el valor que nos dan.

Consideramos la integral
\( I=\displaystyle\int_{-1}^{1} exp(x)(-x^2+3x-2) dx \)
Aproximar el valor de I usando la fórmula de los trapecios compuesta con un número de nodos suficiente para poder asegurar  que el error cometido es menor que \( 10^{-2} \)


El error es

\( \displaystyle\frac{(b-a)^3}{12n^2}f''(c),\;c\in{}[a, b] \)

(Wikipedia - Regla del trapecio)

Tenemos que

\( f(x) = e^x(-x^2+3x-2) \)
\( f'(x) =e^x(-x^2+x+1) \)
\( f''(x) =e^x(-x^2-x+2) \)

La \( f''(x) \) es positiva en \( [-1, 1] \) y tiene un máximo en \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{13}-3}{2} \), en el que vale \( \approx{}2.17329143 \). por tanto, debe ser

\( \displaystyle\frac{(1 - (-1))^3}{12n^2}2.18 < 10^{-2}\;\Rightarrow{}\;n >\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{100\cdot{}8}{12}2.18} \approx{}12.05  \)

Como la función es convexa y negativa en ese intervalo, el error es por exceso (por defecto en valor absoluto).

Bastante aproximado, pues en realidad, como puedes ver en Integración numérica: suma inferior, superior, trapecios, Simpson, llegaría con \( n = 11 \).

Saludos,

P.S.: Como de costumbre, no vi que Luis ya había contestado ...
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

21 Noviembre, 2017, 01:14 pm
Respuesta #4

garmonvir

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