Autor Tema: Cuadrados sobre los lados de un triángulo inscrito

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20 Noviembre, 2017, 07:40 pm
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famabru

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AC es una cuerda no diametral de una circunferencia C. B es pto. variable en el mayor arco AC.
Sobre la cuerda AB, se construye un cuadrado ABDE de centro I y sobre la cuerda BC se construye un cuadrado BCFG de centro K. M es el pto. medio del segmento AC, N es el pto. medio del segmento BC y P lo es de AB.
1. Prueba que los segmentos NK y PM son iguales y que los triángulos PMI y KNM  son iguales
2. Prueba que \( IM\perp{MK} \)
3.Determina la isometría en la que los triángulos PMI y KNM se corresponden
4.Prueba que las rectas PM y NK son perpendiculares
5.Determina el lugar geométrico de P al variar B.

21 Noviembre, 2017, 10:09 am
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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famabru,

Bienvenida al foro. No olvides leer el mensaje Lectura obligada antes de postear por primera vez. En particular, no mezcles problemas distintos en el mismo hilo, utiliza hilos separados y procura darles un título significativo (y diferente). También conviene que indiques las dificultades concretas que encuentras.

AC es una cuerda no diametral de una circunferencia C. B es pto. variable en el mayor arco AC.
Sobre la cuerda AB, se construye un cuadrado ABDE de centro I y sobre la cuerda BC se construye un cuadrado BCFG de centro K. M es el pto. medio del segmento AC, N es el pto. medio del segmento BC y P lo es de AB.

Ésta es la situación:


1. Prueba que los segmentos NK y PM son iguales y que los triángulos PMI y KNM  son iguales
2. Prueba que \( IM\perp{MK} \)
3.Determina la isometría en la que los triángulos PMI y KNM se corresponden
4.Prueba que las rectas PM y NK son perpendiculares
5.Determina el lugar geométrico de P al variar B.

1. \( \overline{NK} \) es la apotema del cuadrado \( BCFG \), por lo que \( \overline{NK} = \frac{1}{2}\overline{BC}\textrm{ y }\overline{NK} \,\perp{}\,\overline{BC} \). A su vez, \( \overline{PM} \) es la paralela media de \( \triangle BCA \), por lo que \( \overline{PM} = \frac{1}{2} \overline{BC}\textrm{ y }\overline{PM}\, \| \,\overline{BC} \). Por tanto \( \overline{NK} = \overline{PM}\textrm{ y }\overline{NK} \,\perp{}\,\overline{PM} \) (4). Por el mismo razonamiento, \( \overline{PI} = \overline{NM}\textrm{ y }\overline{PI} \,\perp{}\,\overline{NM} \). Los lados de \( \angle MNK\textrm{ y }\angle IPM \) son respectivamente perpendiculares y ambos obtusos, por lo que estos ángulos son iguales. Entonces \( \triangle PMI\textrm{ y }\triangle NKM \) tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido, por lo que son congruentes (misma forma y tamaño), \( \triangle PMI \equiv{} \triangle NKM \).

2. Como \( \triangle PMI \equiv{} \triangle NKM \), y \( NK \perp{} PM\textrm{ y }NM\perp{}PI \), se tiene que también \( KM\perp{}MI \)

3. \( \triangle PMI\textrm{ y }\triangle NKM \) se corresponden en una traslación de vector \( \overrightarrow{PN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \) seguida de un giro de \( 90^\circ{} \).

4. Visto en (1).

5. \( \overline{PA} = \frac{1}{2}\overline{BA} \), por lo que el punto \( P \) recorre un arco homotético del arco \( \stackrel{\textstyle\frown}{AC} \) que contiene a \( B \), respecto de \( A \) y con razón   \( \frac{1}{2} \).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)