Hola
Un comentario general a estos ejercicios. Para poder orientarte de la manera más adecuada sería necesario que resultados previos conoces sobre espacios vectoriales que puedes usar. Por ejemplo no es lo mismo tener que comprobar la independencia lineal por definición (más latoso) que usar el resultado que directamente reduce la cuestión a analizar el rango de la matriz de coordenadas.Tengo dudas con estos ejercicios
En el espacio vectorial \( \mathbb{R}^2(\mathbb{R}) \) se tiene un conjunto de vectores linealmente independientes: \( {u, v} \). Sean los escalares a, b, c, d tales que \( u’ = a.u + b.v \) y \( v’ = c.u + d.v \), demuestre que los vectores \( u’, v’ \) son linealmente independientes si la matriz \( \begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix} \) es inversible.
Este ejercicio no tengo ni la menor idea de como hacerlo
Por definición son independientes si y sólo si:
\( xu'+yv'=0\quad \Rightarrow{}\quad x=y=0 \)
Pero:
\( xu'+yv'=0\quad \Rightarrow{}\quad (xa+yc)u+(xb+yd)v=0 \)
Como \( u,v \) son independientes se deduce que:
\( ax+cy=0 \)
\( by+dy=0 \)
Entonces \( u',v' \) son independientes si y sólo si ese sistema lineal homogéneo sólo tiene la solución trivial.
El como terminar depende un poco de lo que ya sepas sobres sitemas lineales; la teoría dice que tiene solución única (la trivial) si y sólo si la matriz del sistema es invertible.
Investigue si la siguiente familia de vectores es base del espacio vectorial \( M_{2x2} \), en caso afirmativo indique la dimensión. Justifique sus respuestas.
\( S = \left \{ \begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix} \right \}
\)
Este ejercicio lo resolví asi:
\(
\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c\\
d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\alpha\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\alpha\\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
\alpha\\
0\\
-\alpha
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
\alpha\\
\alpha\\
-\alpha
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
a\\
b\\
b\\
d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\alpha\\
2\alpha\\
2\alpha\\
-2\alpha
\end{pmatrix}
\)
No se como interpretar el resultado
No sé que has querido hacer ahí. Has multiplicado las cuatro matrices de la candidata a base por un mismo parámetro. ¿Por qué?.
Una vez más el camino para resolver el ejercicio depende de los resultados previos. Te indicaré el más básico, el que usa menos resultados; también es por eso el camino más largo.
Por definición para que sean base deben de ser independientes y ser un sistema generador.
Para ver que son independientes por definición tienes que probar que:
\( a\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}+
c\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}+d
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}\quad \Rightarrow\quad a=b=c=d=0 \)
Para ver que son generadores dada cualquier matriz \( \begin{bmatrix}
x & y\\
z & t
\end{bmatrix} \) tienes que probar que existen \( a,b,c,d \) tales que:
\( a\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}+
c\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}+d
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
x & y\\
z & \color{red}t\color{black}
\end{bmatrix} \)
Investigue si el conjunto \( S = \left \{ A / A \in M_{2x2}(\mathbb{R}) \wedge det(A) = 0 \right \} \) es o no un subespacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos.
Este ejercicio tampoco se como hacerlo. Trate aplicando los mismo que el anterior haciendo esto.
Para que el determinante de la matriz A sea cero, esta tiene que ser asi:
\( A = \begin{bmatrix}
a & ka\\
b & kb
\end{bmatrix} \)
Expreso cualquier matriz como combinación lineal de las matrices A
\( \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & ... & a\\
k_1a & ... & k_na\\
k_1b & ... & k_nb\\
b & ... & b
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
...\\
\alpha_n
\end{pmatrix} \)
Para que fuese subespacio tendría que cumplir:
a) contiene al vector (a la matriz) cero; esto si lo cumple:
b) dadas \( A,B\in S \) y \( p,q\in \mathbb{R} \) entonces \( pA+qS\in S. \)
Pero, ¿qué ocurre por ejemplo si \( A=\begin{pmatrix}1 &0 \\0&0\\\end{pmatrix} \) y \( B=\begin{pmatrix}0 &0 \\0&1\\\end{pmatrix} \).
Saludos.
CORREGIDO
