Autor Tema: Si los afijos son vértices de un triángulo equilátero entonces su suma es cero

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15 Noviembre, 2017, 07:45 pm
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poolnikov

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 Hola a todos,

Demostrar que si \( z_1 \), \( z_2 \) y \( z_3 \) son los vértices de un triángulo equilátero y \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=1 \), entonces se cumple que \( z_1+z_2+z_3=0 \)

Resolviendo este problema me encontré con la solución que pongo en el spoiler a continuación y la duda que me surge:

Editado con la solución correcta.

Spoiler
si \( z_1 \), \( z_2 \) y \( z_3 \) son los vértices de un triángulo equilátero, entonces cada uno debe estar girado un ángulo de  \( \displaystyle\frac{\textcolor{Red}{2}\pi}{3} \) respecto del otro. Sabemos que multiplicar un complejo \( u \) de módulo 1 es un giro de amplitud igual a \( arg(u) \).

Definamos \( u=cos(\displaystyle\frac{\textcolor{Red}{2}\pi}{3})+i sen(\displaystyle\frac{\textcolor{Red}{2}\pi}{3}) \). Entonces los 3 vértices los podremos escribir como \( z_1 \), \( z_1\cdot{}u \) y \( z_1\cdot{}u^2 \) y por lo tanto:
\( z_1+z_2+z_3=z_1(1+u+u^2)=z_1 \displaystyle\frac{u^3-1}{u-1}=0 \)

Ahora ya tengo claro que \( u^3=1 \) y por lo tanto la suma es cero.

Pues bien, no entiendo o no sé por qué \( z_1 \displaystyle\frac{u^3-1}{u-1}=0 \) según mis cálculos \( u^3=-1 \) y por lo tanto esa igualdad no es cero. (aclarado y por lo tanto esto ahora ya no tiene sentido)

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Gracias a todos y saludos.

15 Noviembre, 2017, 08:38 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
Hola a todos,

Demostrar que si \( z_1 \), \( z_2 \) y \( z_3 \) son los vértices de un triángulo equilátero y \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=1 \), entonces se cumple que \( z_1+z_2+z_3=0 \)

Resolviendo este problema me encontré con la solución que pongo en el spoiler a continuación y la duda que me surge:

Spoiler
si \( z_1 \), \( z_2 \) y \( z_3 \) son los vértices de un triángulo equilátero, entonces cada uno debe estar girado un ángulo de  \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) respecto del otro. Sabemos que multiplicar un complejo \( u \) de módulo 1 es un giro de amplitud igual a \( arg(u) \).

Definamos \( u=cos(\displaystyle\frac{\pi}{3})+i sen(\displaystyle\frac{\pi}{3}) \). Entonces los 3 vértices los podremos escribir como \( z_1 \), \( z_1\cdot{}u \) y \( z_1\cdot{}u^2 \) y por lo tanto:
\( z_1+z_2+z_3=z_1(1+u+u^2)=z_1 \displaystyle\frac{u^3-1}{u-1}=0 \)

Pues bien, no entiendo o no sé por qué \( z_1 \displaystyle\frac{u^3-1}{u-1}=0 \) según mis cálculos \( u^3=-1 \) y por lo tanto esa igualdad no es cero.

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Gracias a todos y saludos.

Tienes toda la razón, \( u^3=-1 \) ,por que está mal resuelto el problema, aunque la idea es buena.

La solución es:

Spoiler
Por ser  \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=1 \)

Los afijos ( vértices) están sobre una circunferencia unidad centrada en el origen de coordenadas pero el error es que el ángulo que forman cada complejo es el ángulo central del triángulo equilátero y sus vértices  que es 120º ó \( \displaystyle\frac{2\pi}{3} \) , entonces si \( u=cos(\displaystyle\frac{2\pi}{3})+i sen(\displaystyle\frac{2\pi}{3}) \)

Entonces si \( u^3=1 \) y la suma da cero.
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Saludos.
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15 Noviembre, 2017, 08:50 pm
Respuesta #2

robinlambada

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Este problema es un caso concreto de que la suma de todas las raices ene-ésimas de un complejo suman cero. Geométricamente equivale a la suma de los afijos a los vértices de un polígono regular suman cero, si su centro coincide con el origen de coordenadas.

Saludos.

P.D.: La condición \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=1 \), se podría haber cambiado por  \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right | \)
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15 Noviembre, 2017, 09:04 pm
Respuesta #3

poolnikov

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Hola.

¡Vale! Muchas gracias. Me estaba volviendo loco.

No encontraba por donde fallaba. Gracias de nuevo

Saludos!!

16 Noviembre, 2017, 12:04 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

¡Vale! Muchas gracias. Me estaba volviendo loco.

No encontraba por donde fallaba. Gracias de nuevo

No sé si quedó claro que la solución que pusiste en el Spoiler está MAL. Allí se gira sólo \( 60 \) grados en lugar de \( 120 \). Si giramos un punto respecto al origen, dos veces sucesivas \( 60 \) grados lo que se obtiene NO es un triángulo equilátero, sino uno isósceles de ángulos \( 30,30,120 \).

Saludos.

16 Noviembre, 2017, 05:50 pm
Respuesta #5

poolnikov

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Hola

¡Vale! Muchas gracias. Me estaba volviendo loco.

No encontraba por donde fallaba. Gracias de nuevo

No sé si quedó claro que la solución que pusiste en el Spoiler está MAL. Allí se gira sólo \( 60 \) grados en lugar de \( 120 \). Si giramos un punto respecto al origen, dos veces sucesivas \( 60 \) grados lo que se obtiene NO es un triángulo equilátero, sino uno isósceles de ángulos \( 30,30,120 \).

Saludos.

Hola.

Gracias Luis. Me quedó claro con la explicación de robinlambada tenían que girar \( 120º \).

Voy a editar el spoiler con la solución correcta.

Saludos a todos y muchas gracias.