Autor Tema: conjunto separable

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15 Noviembre, 2017, 22:33
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moraat

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 Probar que \[ X\times Y \] es separable si y solo si \[ X \] e \[ Y \] son separables
¿alguna ayuda?? Gracias de antemano.

15 Noviembre, 2017, 22:54
Respuesta #1

Masacroso

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Tienes que utilizar la definición de topología producto. Y por supuesto la definición de espacio topológico separable.

16 Noviembre, 2017, 07:20
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Probar que \[ X\times Y \] es separable si y solo si \[ X \] e \[ Y \] son separables
¿alguna ayuda?? Gracias de antemano.

Ampliando lo indicado por Masacroso:

- Si \[ X,Y \] son separables utiliza el producto de los conjuntos densos numerables en cada uno de ellos para tener un conjunto denso numerable en \[ X\times Y \].
- Recíprocamente si el producto es separable utiliza las proyecciones del subconjunto denso numerable sobre \[ X \] y sobre \[ Y \] para tener conjuntos densos numerables en cada espacio.

Recuerda además que:

- El producto de numerable es numerable.
- Los abiertos básicos de la topología producto de dos espacios topológicos son producto de abiertos básicos de cada espacio.

Saludos.