Autor Tema: Cónicas (I)

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12 Noviembre, 2017, 09:01
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latex

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Hola, buenos días, no veo el último detalle de;

Sea \[ Q(x, y) = 0 \] la ecuación de una hipérbola \[ \mathbb{H} \], con invariantes métricos \[ \Delta \], \[ \delta \] y \[ s \], siendo \[ A \] la matriz principal de \[ Q \]. Demostrar que si \[ \lambda \] es el valor propio de \[ A \] con el mismo signo que \[ \Delta \] , entonces el semieje principal de \[ \mathbb{H} \] es \[ a =\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-\Delta}{\delta \lambda}} \] y la dirección del eje principal es el subespacio propio de \[ A \] asociado a dicho valor propio.

Nótemos que la ecuación reducida de una hipérbola es \[ \left ( \displaystyle\frac{x}{a} \right )^2 - \left ( \displaystyle\frac{y}{b} \right )^2 = 1 \].
Tenemos que \[ Q(x,y) = ax^2+ 2bxy + cy^2 + 2ex + 2fy +d \], que tras aplicar la primera reducción cambiando de referencial usando \[ Q=\begin{bmatrix}{\alpha}&{\beta}\\{\beta}&{-\alpha}\end{bmatrix} \] con  \[  \alpha^2 + \beta^2 = 1 \]. Se tendría
\[ Q(x',y') = \lambda_{1}x'^2 + \lambda_{2}y'^2 + 2mx + 2ny + d \]. Donde \[ \lambda_{1} \],\[ \lambda_{2} \] son los valores propios de la matriz principal \[ A \]. Ajustando cuadrados y aplicando una traslación del centro del referencial \[ R' \], se tendría  \[ Q(x',y')=\lambda_{1}x'^2 +\lambda_{2}y'^2 -q \], donde \[ \Delta = \begin{bmatrix}{\lambda_{1}}&{0}&{0}\\{0}&{\lambda_{2}}&{0}\\{0}&{0}&{-q}\end{bmatrix}=-\lambda_{1}\lambda_{2}q  \], donde al ser una hipérbola \[ \delta = \lambda_{1}\lambda_{2} < 0 \].

De \[ Q(x',y') \] obtenemos la ecuación

\[
\lambda_{1}x'^2 +\lambda_{2}y'^2 = q \Leftrightarrow{}
\displaystyle\frac{x'^2}{q/\lambda_{1}} + \displaystyle\frac{y'^2}{q/\lambda_{2}} = 1 \Leftrightarrow{}



\left ( \displaystyle\frac{x'}{\sqrt[ ]{q/\lambda_{1}}} \right )^2 + \left ( \displaystyle\frac{y'}{\sqrt[ ]{q/\lambda_{2}}} \right )^2= 1

 \]

Luego se tiene que el semieje principal/real es \[ a=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{q}{\lambda_{1}}}= \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{- \Delta}{\delta \lambda_{1}}}  \in \mathbb{R} \Leftrightarrow{} signo(\Delta) = signo(\lambda_{1}) \].

 Ahora no me queda claro cómo ver que la dirección del eje principal es el subespacio propio de \[ A \] asociado a dicho valor propio

que en este caso es \[ Ker(A-\lambda_{1}Idv) = \begin{bmatrix}\alpha\\{\beta}\end{bmatrix}  \] (la primera columna de \[ Q \] ortogonal)

Gracias de antemano.

Saludos.


12 Noviembre, 2017, 14:46
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 No me queda claro cuál es tu duda:

 1) Es claro que en la nueva referencia el eje principal tiene la dirección \[ (1,0) \].

 2) Como \[ Q \] es la matriz de cambio de base (de la base en la nueva referencia a la base de partida) en la base de partida el eje principial es \[ Q(1,0)^t \]; justo la primera columna de \[ Q \].

 3) El cambio de referencia que has hecho significa que la relación entre la matriz \[ A \] principal de la cónica en la referencia de partida y la matriz \[ A' \] de la matriz principal de la cónica en la referencia nueva es:

\[ A'=Q^{-1}AQ \]

 donde \[ A'=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\\\end{pmatrix} \]

 Equivalentemente \[ QA'=AQ \] y eso significa que las columnas de \[ Q \] son los autovalores de \[ A \] asociados respectivamente a los autovalores \[ \lambda_1 \] y \[ \lambda_2 \].

Saludos.

12 Noviembre, 2017, 15:28
Respuesta #2

latex

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Entendido, me faltaba aclararme con lo que estaba subrayado, que son tus respuestas 1), y 2) Ahora todo me encaja.

Saludos :)