Autor Tema: Ejercicio de grupos y subgrupos

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13 Noviembre, 2017, 11:09 pm
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manooooh

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Hola a todos! El enunciado está adjunto en la imagen.





NOTA: \( \overline{a} \) indica la clase de \( a \).


Para hallar los inversibles de cualquier \( \mathbb{Z}_n \) con la operación producto de clases, existe una propiedad que dice:
 \( (\mathbb{Z}_n, \overline{\cdot{}}), \; Inv(\mathbb{Z_n}) = \{\overline{k}: (k, n) = 1, \quad 1 \leq{} k < n\} \), por lo tanto

\( G = Inv(\mathbb{Z}_{14}) = \{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{9}, \overline{11}, \overline{13}\} \).

La tabla de \( G \) es:

\(
\begin{array}{ c | c c  }
     \overline{\cdot{}} & \overline{1} & \overline{3} & \overline{5} & \overline{9} & \overline{11} & \overline{13} \\ \hline
     \overline{1} & \overline{1} & \overline{3} & \overline{5} & \overline{9} & \overline{11} & \overline{13} \\
     \overline{3} & \overline{3} & \overline{9} & \overline{1} & \overline{13} & \overline{5} & \overline{11} \\
     \overline{5} & \overline{5} & \overline{1} & \overline{11} & \overline{3} & \overline{13} & \overline{9} \\
     \overline{9} & \overline{9} & \overline{13} & \overline{3} & \overline{11} & \overline{1} & \overline{5} \\
     \overline{11} & \overline{11} & \overline{5} & \overline{13} & \overline{1} & \overline{9} & \overline{3} \\
     \overline{13} & \overline{13} & \overline{11} & \overline{9} & \overline{5} & \overline{3} & \overline{1} \\
   \end{array}
 \qquad \begin{array}{ll} \textrm{Neutro: } & e = \overline{1} \\ \textrm{Simétricos: } & \\  & \left(\overline{1}\right)' = \overline{1} \\  & \left(\overline{3}\right)' = \overline{5} \\  & \left(\overline{5}\right)' = \overline{3} \\  & \left(\overline{9}\right)' = \overline{11} \\  & \left(\overline{11}\right)' = \overline{9} \\  & \left(\overline{13}\right)' = \overline{13} \end{array}  \)

Punto a):

Subgrupos de \( G \):
\( \boxed{\begin{array}{l} H_1 = \left<{\overline{1}}\right> = \{\overline{1}\} \\ H_2 = \left<{\overline{3}}\right> = \{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{9}, \overline{11}, \overline{13}\} = \left<{\overline{5}}\right> \\ H_3 = \left<{\overline{9}}\right> = \{\overline{1}, \overline{9}, \overline{11}\} = \left<{\overline{11}}\right> \\ H_4 = \left<{\overline{13}}\right> = \{\overline{1}, \overline{13}\} \end{array}} \)

Red de subgrupos de \( G \)


El grupo es cíclico pues existe un subgrupo tal que genera a todo el grupo, que es el \( H_2 \) (O bien como el grupo es conmutativo -los elementos de las triangulares superior e inferior coinciden- es cíclico).

Punto b):
\( H = \left<{\overline{9}}\right> = \{\overline{1}, \overline{9}, \overline{11}\} \). Como el grupo es conmutativo, todo subgrupo es normal, por lo que las clases laterales serán iguales (sólo voy a hacer una clase lateral, a izquierda por ejemplo):

\( \begin{array}{l} \overline{1} \overline{\cdot{}} H = H \\ \overline{3} \overline{\cdot{}} H = \{\overline{3}, \overline{13}, \overline{5}\}\\ \overline{5} \overline{\cdot{}} H = \{\overline{5}, \overline{3}, \overline{13}\}\\ \overline{9} \overline{\cdot{}} H = \{\overline{9}, \overline{11}, \overline{1}\}\\ \overline{11} \overline{\cdot{}} H = \{\overline{11}, \overline{1}, \overline{9}\}\\ \overline{13} \overline{\cdot{}} H = \{\overline{13}, \overline{5}, \overline{3}\}\end{array} \)
por lo que el grupo cociente será

\( \boxed{\displaystyle\frac{G}{H} = \{\overline{1} \overline{\cdot{}} H, \overline{3} \overline{\cdot{}} H\} = \{H, \{\overline{3}, \overline{5}, \overline{11}\}\}} \).



¿Pueden corregirme si hay algo mal por favor?

Mi única duda está en la última parte, la de las clases laterales a izquierda y a derecha; ¿debo hacer también a derecha?

Gracias!!

14 Noviembre, 2017, 09:54 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Todo bien. Si el grupo es conmutativo no hay diferencia entre clases laterales a derecha y a izquierda.

Saludos.

14 Noviembre, 2017, 01:04 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola

 Todo bien. Si el grupo es conmutativo no hay diferencia entre clases laterales a derecha y a izquierda.

Saludos.

Hola, wii, quería confirmarlo.

Gracias Luis! :)