Autor Tema: Un ejemplo de convergencia de funciones simples

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10 Noviembre, 2017, 04:25 am
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GMat

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Saludos

En la definición de la integral de Lesbesgue se dice que una función \( f:E\rightarrow\mathbb{R} \) es L-integrable si existe una sucesión de funciones simples integrables \( \phi_n \) tales que \( \phi_n\overset{u}{\longrightarrow}f \) y en ese caso se tiene que  \( \int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm \). Ahora si cambiamos en la definición el hecho de que \( \phi_n \) converge uniformemente por otro tipo de convergencia el resultado no es favorable

Tengo unos ejemplos donde si la sucesión \( \phi_n \) converge en medida o en casi todo punto no se cumple que \( \int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm \). Ahora lo que me gustaría tener es un ejemplo donde la convergencia sea puntual.
En particular me gustaria un ejemplo que muestre que \( \phi_n\overset{p}{\longrightarrow} \) entonces \( \int_E\phi_n\nrightarrow0 \)

Gracias de antemano

10 Noviembre, 2017, 11:06 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Toma por ejemplo \( \phi_n=n\cdot \mathbf{1}_{(1/n,2/n)} \), donde \( \mathbf{1}_{(1/n,2/n)} \) es la función indicatriz en el intervalo \( (1/n,2/n) \) es decir:

\(  \mathbf{1}_{(1/n,2/n)}(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}&x\in (1/n,2/n)\\0 & \text{si}& x\not\in (1/n,2/n)\end{cases} \)

Saludos.

10 Noviembre, 2017, 04:44 pm
Respuesta #2

GMat

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Hola

Gracias por ese ejemplo. Siguiendo con el analisis de la definicion de la integral de Lebesgue vi que si la sucesion de funciones simples \( \phi_n \) converge uniformente a una funcion \( f \) se define la integral de Lebesgue como \( \int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm \) pero por lo que veo \( \underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm \) tiene que converger, pero ¿esto ocurre siempre?

Se me ocurrió la siguiente pregunta, si tengo una sucesión de funciones simples \( \phi_n \) tales que \( \phi_n\overset{u}{\longrightarrow}f \) es posible que \( \int\phi_ndm\nrightarrow f \), esto es posible si bajo las hipotesis anteriores \( \int_E\phi_ndm=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \), ¿tales \( \phi_n \) existen?

A mi parecer si pero no se me ocurre ningún ejemplo de esto

Saludos