Autor Tema: Fracciones continuas, e

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24 Octubre, 2017, 09:56 am
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Julio_fmat

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Encontrar el desarrollo en fracción continua del numero de Neper \( e \), y aproximar dicho numero con un numero racional a menos de \( 10^{-5}. \)

Hola. Bueno, usamos L:=ContinuedFraction(e). La aproximación no me queda claro, pero se supone que es esto... \( \left |{e-p/q}\right |<10^{-5}. \)
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

24 Octubre, 2017, 10:14 am
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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Encontrar el desarrollo en fracción continua del numero de Neper \( e \), y aproximar dicho numero con un numero racional a menos de \( 10^{-5}. \)

Hola. Bueno, usamos L:=ContinuedFraction(e). La aproximación no me queda claro, pero se supone que es esto... \( \left |{e-p/q}\right |<10^{-5}. \)

Es exactamente lo mismo que para \( \sqrt[ ]{13} \).

El desarrollo en fracción continua de \( e \), y de sus raíces, no es periódico, porque no se trata de un irracional cuadrático, pero es muy regular:

\( \sqrt[k]{e} = [1; k-1, 1, 1, k-1 + 2k, 1, 1, k-1 + 4k, 1, 1, k-1+6k, 1, 1,\ldots] \)

En el caso de \( e \) queda

\( e = \sqrt[1]{e} = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1,\ldots] =  [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1,\ldots] \)

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

24 Octubre, 2017, 10:15 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Encontrar el desarrollo en fracción continua del numero de Neper \( e \), y aproximar dicho numero con un numero racional a menos de \( 10^{-5}. \)

Hola. Bueno, usamos L:=ContinuedFraction(e). La aproximación no me queda claro, pero se supone que es esto... \( \left |{e-p/q}\right |<10^{-5}. \)

Deberías de indicar que te refires a como programar la cuestión en Magma. No conozco ese software, pero simplemente puedes adaptar este problema análogo:

Escriba un programa Magma que desarrolle el número \( \sqrt{13} \) en fracción continua, y ocupe dicho desarrollo para encontrar las siguientes convergentes:

\( \dfrac{p}{q}\in \mathbb{Q} \) tal que \( \left |{\sqrt{13}-\dfrac{p}{q}}\right |<10^{-4}. \)

Hola, estoy recién aprendiendo el lenguaje de programación Magma... Mi profesor para este caso lo desarrolla así:

> L:=ContinuedFraction(Sqrt(13));
> n:=0;
> repeat
n:= n+1;
M:= Convergents(L[1..n]);
until Abs(Sqrt(13)-M[1,1]/M[2,1]) lt 10^(-4);
> n;
8
> M[1,1]/M[2,1];
256/71

Algo así sería:

> L:=ContinuedFraction(Exp(1));
> n:=0;
> repeat
n:= n+1;
M:= Convergents(L[1..n]);
until Abs(Exp(1)-M[1,1]/M[2,1]) lt 10^(-5);

Saludos.