[Michel]

La suma de los perímetros de dos cuadrados es 56.
Hallar el mínimo de la suma de sus áreas.

[ingmarov]

Hola Mich

Dejo en el spoiler una solución

Spoiler

Si L es la medida de lado del primer cuadrado la medida de lado del segundo es,

\( \dfrac{56-4L}{4}=14-L \)

La suma de áreas es

\( L^2+(14-L)^2=2L^2-28L+196 \).     Una parábola cuyo mínimo se encuentra en su vértice

\( L=\dfrac{-(-28)}{2(2)}=7 \)

Por lo que la suma de áreas es mínima cuando los cuadrado son congruentes, en este caso cuando sus lados miden 7

[cerrar]

Saludos

[Michel]

Hola ing.

Otra forma:

Sean a y b los lados de los cuadrados.

Se veridfica: \( 4a+4b=56\Rightarrow{a+b=15} \)

\( a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \)

Como a+b es constante, la expresión anterior será mínima cuando sea máximo ab, ya que si la suma de dos números es constante, su producto es máximo si los dos números son iguales.

Entonces ha de ser a=b=7, es decir, los dos cuadrados son iguales.
.

[Ignacio Larrosa]

Hola ing.

Otra forma:

Sean a y b los lados de los cuadrados.

Se veridfica: \( 4a+4b=56\Rightarrow{a+b=\color{red}15\color{black}} \)

\( a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \)

Como a+b es constante, la expresión anterior será mínima cuando sea máximo ab, ya que si la suma de dos números es constante, su producto es máximo si los dos números son iguales.

Entonces ha de ser a=b=7, es decir, los dos cuadrados son iguales.

Ahí hay un pequeño error de escritura, obviamente se trata de a + b = 14.

Saludos,

[Ignacio Larrosa]

La suma de los perímetros de dos cuadrados es 56.
Hallar el mínimo de la suma de sus áreas.

Una demostración sin palabras:


Saludos,

[robinlambada]

Hola, la misma idea de Ignacio , solo que a mi juicio un poco más clara.

Spoiler

Si cada uno de los cuadrados con las condiciones dadas lo duplicamos y lo colocamos en otro de lado \( a+b=14 \)
partiendo de la situación en que los 4 cuadrados son iguales de lado a=b=7, vemos que cualquier otra tiene mayor área.


Saludos.

P.D.:La elección de los colores se baso solo en su claridad y contraste, cualquier otra interpretación es totalmente casual, sinceramente por pereza no los he cambiado.

[cerrar]