Autor Tema: Forma bilineal simétrica no degenerada

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21 Octubre, 2017, 04:09 am
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serpa

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Hola a todos.

¿Alguna sugerencia para esto?

Sea \( \left<{M, N}\right> := Tr(MN^t) \), donde \( M,N \in{\mathbb{F}_{q}^{m \times n}} \), \( Tr() \) es la traza y \( N^t \) indica la transpuesta de \( N \). Ya he probado que dicha aplicación define una forma bilineal simétrica no degenerada. Lo que debo probar ahora es: dado \( V \leq \mathbb{F}_{q}^{m \times n} \), entonces \( \dim_{\mathbb{F}_q} V^{\perp}=mn - \dim_{\mathbb{F}_q} V \), donde \( V:=\{X \in{\mathbb{F}_{q}^{m \times n}}: \left<{X, N}\right>=0, \forall N\in{V} \} \).


Agradezco mucho su ayuda.

21 Octubre, 2017, 08:41 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Sea \( \left<{M, N}\right> := Tr(MN^t) \), donde \( M,N \in{\mathbb{F}_{q}^{m \times n}} \), \( Tr() \) es la traza y \( N^t \) indica la transpuesta de \( N \). Ya he probado que dicha aplicación define una forma bilineal simétrica no degenerada. Lo que debo probar ahora es: dado \( V \leq \mathbb{F}_{q}^{m \times n} \), entonces \( \dim_{\mathbb{F}_q} V^{\perp}=mn - \dim_{\mathbb{F}_q} V \), donde \( V^{\color{red}\perp}:=\{X \in{\mathbb{F}_{q}^{m \times n}}: \left<{X, N}\right>=0, \forall N\in{V} \} \).

Por el mismo precio (o incluso menor), puedes generalizar. Si \( E \) es espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo \( \mathbb{K} \) y \( f:E\times E\to \mathbb{K} \) es forma bilineal simétrica y no degenerada, entonces su expresión matricial en una base \( B \) de \( E \) es

          \( f(x,y)=X^tAY\text{ con } \det A\ne 0. \)

Si \( \left\{{v_1,\ldots,v_k}\right\} \) es base de un subespacio \( V \) de \( E \), entonces

          \( x\in V^{\perp}\Leftrightarrow \begin{cases}{ f(x,v_1)=0}\\ \ldots\\ f(x,v_k)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}{ X^tAV_1=0}\\ \ldots\\ X^tAV_k=0.\end{cases} \)

Creo que no te será difícil demostrar que \( \dim V^\perp=\dim E-\dim V. \)

22 Octubre, 2017, 11:28 pm
Respuesta #2

serpa

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Hola. Muchas gracias por responder. Voy a tratar de hacerlo. Cualquier inconveniente te comento.


Un saludo.