Autor Tema: Cuadrados mínimos - MATLAB

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18 Octubre, 2017, 03:24 am
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Émilie.du

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Hola, ¿como se podría dar una justificación válida para la siguiente afirmación?
Dados dos vectores \( x \) e \( y \) de la misma longitud \( m \), el comando Matlab polyfit determina los coeficientes \( c_i \) del polinomio de grado \( n \): \( p(x) = c_1x^n + · · ·+ c_nx + c_{n+1} \) cuya gráfica ajusta por cuadrados mínimos los puntos \( (x_1, y_1), . . . ,(x_m, y_m) \). En particular, cuando \( n=m−1 \), \( p(x) \) es el polinomio de interpolación determinado por esos puntos.

18 Octubre, 2017, 05:25 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

La afirmación es cierta. ¿Por que?   \( n=m-1\Rightarrow{m=n+1} \), es decir se tienen n+1 puntos de una función, desconocida en el resto de puntos. polyfit(x,y,n), retorna un vector constituido por los coeficientes de un polinomio de grado n,  \( W=(C_1,C_2,C_3,...C_{n+1}) \), que minimizan el error cuadrático. El polinomio sería : \( p(t)=C_1 t^n +C_2 t^{n-1}+C_3 t^{n-2}+...C_nt+C_{n+1} \)

Es cierto que, si existiese un polinomio, respecto al cual el error cuadrático es cero (polinomio pasa por todos los puntos de la función), polyfit(x,y,n), retornaría sus coeficientes como vector. Para el caso n=m-1, existe, por la razón, que  se puede establecer un sistema de n+1 ecuaciones , con n+1 incógnitas (los coeficientes del polinomio), aquí el detalle :

\( p(x_1)=y_1 \)

\( p(x_2)=y_2 \)

....

\( p(x_n)=y_n \)

\( p(x_{n+1})=y_{n+1} \)

Esto se traduce en :

\( C_1 x_1^n +C_2 x_1^{n-1}+C_3 x_1^{n-2}+...C_nx_1+C_{n+1}=y_1 \)

\( C_1 x_2^n +C_2 x_2^{n-1}+C_3 x_2^{n-2}+...C_nx_2+C_{n+1}=y_2 \)

...

\( C_1 x_{n+1}^n +C_2 x_{n+1}^{n-1}+C_3 x_{n+1}^{n-2}+...C_nx_{n+1}+C_{n+1}=y_{n+1} \)


Sistema de n+1 ecuaciones y n+1 incógnitas (coeficientes del polinomio), que se puede resolver, cuando las ecuaciones son linealmente independientes. Evidentemente, el polinomio pasa por los puntos de la función, y la aproxima en el resto de puntos, en consecuencia es un polinomio de interpolación,  con error cuadrático cero (pasa por todos los puntos), al tener error cuadrático cero, será también el que tiene el mínimo error cuadrático y en consecuencia, sus coeficientes serán los retornados, como un vector,  por la función polyfit

Saludos

18 Octubre, 2017, 08:52 am
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Hola

La afirmación es cierta. ¿Por que?   \( n=m-1\Rightarrow{m=n+1} \), es decir se tienen n+1 puntos de una función, desconocida en el resto de puntos. polyfit(x,y,n), retorna un vector constituido por los coeficientes de un polinomio de grado n,  \( W=(C_1,C_2,C_3,...C_{n+1}) \), que minimizan el error cuadrático. El polinomio sería : \( p(t)=C_1 t^n +C_2 t^{n-1}+C_3 t^{n-2}+...C_nt+C_{n+1} \)

Es cierto que, si existiese un polinomio, respecto al cual el error cuadrático es cero (polinomio pasa por todos los puntos de la función), polyfit(x,y,n), retornaría sus coeficientes como vector. Para el caso n=m-1, existe, por la razón, que  se puede establecer un sistema de n+1 ecuaciones , con n+1 incógnitas (los coeficientes del polinomio), aquí el detalle :

\( p(x_1)=y_1 \)

\( p(x_2)=y_2 \)

....

\( p(x_n)=y_n \)

\( p(x_{n+1})=y_{n+1} \)

Esto se traduce en :

\( C_1 x_1^n +C_2 x_1^{n-1}+C_3 x_1^{n-2}+...C_nx_1+C_{n+1}=y_1 \)

\( C_1 x_2^n +C_2 x_2^{n-1}+C_3 x_2^{n-2}+...C_nx_2+C_{n+1}=y_2 \)

...

\( C_1 x_{n+1}^n +C_2 x_{n+1}^{n-1}+C_3 x_{n+1}^{n-2}+...C_nx_{n+1}+C_{n+1}=y_{n+1} \)


Sistema de n+1 ecuaciones y n+1 incógnitas (coeficientes del polinomio), que se puede resolver, cuando las ecuaciones son linealmente independientes.

Esto último ocurre si y solo si los \( x_i \) son todos distintos. En ese caso, el determinante de la matriz de coeficientes, determinante de Vandermonde, es distinto de cero.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)