Autor Tema: Proposición - Hipérbola

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11 Octubre, 2017, 08:05 pm
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latex

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Buenas, necesito un poco de orientación sobre la siguiente equivalencia;

Sea \( H \) un conjunto de puntos del plano euclídeo, en el que fijamos un referencial ortonormal. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) \( H \) es una hipérbola.
(b) Existen dos rectas perpendiculares, con ecuaciones

   \( \alpha x + \beta y + \gamma = 0 \)
   \( \alpha ' x + \beta ' y + \gamma ' = 0 \) 

respecto del referencial dado, y un número  real positivo \( r \) tales que \( H \) es el lugar geométrico de los puntos cuyas
coordenadas \( (x, y) \) respecto de dicho referencial satisfacen la ecuación \( ( \alpha x + \beta y + \gamma )^2 - (\alpha ' x + \beta ' y + \gamma ' )^2 = r^2  \) 

Gracias de antemano.

Saludos.

12 Octubre, 2017, 02:20 pm
Respuesta #1

latex

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¿Alguna indicación para \( (a) \Longrightarrow{(b)} \)? Por ahora no se me ocurre nada, intento partir desde la definición del lugar geométrico de la Hipérbola pero no tengo una idea clara de la demostración, aunque dado el referencial escogido, creo que \( H \) debe ser una hipérbola equilatera.
 

Edit: ¿Podría probarlo tomando la ecuación reducida de la hipérbola \( \left (\displaystyle\frac{x^2}{a^2} \right ) - \left (\displaystyle\frac{y^2}{b^2} \right ) = 1 \)    y aplicándole movimientos obtener \( (2) \) ?

13 Octubre, 2017, 09:45 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Edit: ¿Podría probarlo tomando la ecuación reducida de la hipérbola \( \left (\displaystyle\frac{x^2}{a^2} \right ) - \left (\displaystyle\frac{y^2}{b^2} \right ) = 1 \)    y aplicándole movimientos obtener \( (2) \) ?

 Por ahí van los tiros.

 Si \( H \) es una hipérbola definida como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos \( A \) y \( B \) es constante, entonces puedes hacer un cambio de referencia ortogonal que haga que los puntos A y B tengan coordenadas \( (-c,0) \) y \( (c,0) \).

 En esa referencia es muy fácil ver que la ecuación es:

\(  \dfrac{x'^2}{\color{red}A\color{black}^2}-\dfrac{y'^2}{\color{red}B\color{black}^2}=1 \)

 Nota que el cambio de referencia viene dado por unas ecuaciones:

\(  x'=ax+by+c \)
\(  y'=a'x+b'y+c \)

 con \( (a,b) \) y \( (a',b') \) ortogonales (por ser un cambio de referencia ortogonal).

 Con esto es inmediato concluir.

Saludos.

CORREGIDO

13 Octubre, 2017, 11:34 am
Respuesta #3

latex

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Entonces haciendo el movimiento, se demostraría la existencia de dichas ecuaciones ,¿no? se obtiene de dicho movimiento que ¿ \( a=b=r \) ?
¿Habría que probar que dicha transformación es un movimiento (conservando distancias) o es inmediato del referencial ortogonal escogido?

Como podría plantear la implicación \( (b) \Longrightarrow{(a)} \), ¿mediante otra transformación se podría probar?

Perdón pero no entiendo del todo 'el cómo hacerlo'

Saludos.

13 Octubre, 2017, 12:24 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 He corregido las a,b del denominador para no confundirlas con las a,b que puse en el cambio de variables.

Entonces haciendo el movimiento, se demostraría la existencia de dichas ecuaciones ,¿no? se obtiene de dicho movimiento que ¿ \( a=b=r \) ?

No. No se obtiene \( A=B=R \). Lo que pasa que después de:

\( \dfrac{x'^2}{\color{red}A\color{black}^2}-\dfrac{y'^2}{\color{red}B\color{black}^2}=1 \)

Deshaces el cambio y te queda:

\( \dfrac{(ax+by+c)^2}{\color{red}A\color{black}^2}-\dfrac{(a'x+b'y+c'z)^2}{\color{red}B\color{black}^2}=1 \)

y quitando denominadores a algo de este estilo:

\( ( \alpha x + \beta y + \gamma )^2 - (\alpha ' x + \beta ' y + \gamma ' )^2 = r^2 \)

Citar
Simplemente de
¿Habría que probar que dicha transformación es un movimiento (conservando distancias) o es inmediato del referencial ortogonal escogido?


Pero no entiendo muy bien tu duda. La transformación mantieniendo distancias la escogemos nosotros. Siempre podemos hacer que lleve el nuevo origen al punto medio de los focos y uno de los ejes a la recta que los une.

Citar
Como podría plantear la implicación \( (b) \Longrightarrow{(a)} \), ¿mediante otra transformación se podría probar?

Si. Si divides \( \alpha x+\beta y+\delta \) por \( \|(\alpha,\beta)\| \) y lo análogo con la otra ecuación tienes una transformación que conserva distancias.

Saludos.

13 Octubre, 2017, 06:12 pm
Respuesta #5

latex

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De acuerdo, muchas gracias por las aclaraciones. :)

Saludos.