Autor Tema: Hallar el radio

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03 Octubre, 2017, 09:47 am
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Michel

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En el triángulo equilátero ABC, de lado 20 cm, hay dos circunferencias iguales tangentes entre sí y tangentes a los lados, como indica.
Hallar los ángulos del triángulo DEF y el radio de las circunferencias.

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

04 Octubre, 2017, 08:16 am
Respuesta #1

hméndez

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En el triángulo equilátero ABC, de lado 20 cm, hay dos circunferencias iguales tangentes entre sí y tangentes a los lados, como indica.
Hallar los ángulos del triángulo DEF y el radio de las circunferencias.




Por ser circunferencias iguales  tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo, la ceviana CG
que pasa por D (punto de tangencia) es una altura, mediana, bisectriz y mediatriz del triangulo ABC y
por tanto el triángulo ACG es rectángulo en G y ademas notable (30-60-90). Si el lado AC vale \( 20 \) cm.
AG vale \( 10 \) cm. y GC vale \( 10\sqrt[ ]{3} \) cm. y tenemos por Poncelet que su inradio vale:

\( r=\displaystyle\frac{10+10\sqrt[ ]{3}-20}{2} \)

\( r=5\sqrt[ ]{3}-5 \) cm.  (radio de las circunferencias).

Respecto a los ángulos observamos que:

1. Los ángulos FDE, DEF, EFD están inscritos en la circunferencia y subtienden los arcos EF, FD, DE respectivamente.
2. Los ángulos CAG, AGC, GCA son exteriores con lados tangentes a la circunferencia determinando respectivamente
    los arcos anteriormente mencionados, por tanto se sabe que estos son suplementarios, así tenemos:
   
    Arco EF es suplemento de \( 60° \) \( \longrightarrow{120°} \)
    Arco FD es suplemento de \( 90° \) \( \longrightarrow{90°} \)
    Arco DE es suplemento de \( 30° \) \( \longrightarrow{150°} \)

Los ángulos FDE, DEF, EFD valen respectivamente la mitad de los anteriores \( (60°, 45°, 75°) \) por lo dicho en (1).



Nota: Esto se pudo haber justificado usando otro tipo de argumentación como por ejemplo, observando que allí tenemos
         cuadriláteros inscriptibles y que sus ángulos opuestos deben ser suplementarios.

Saludos.

04 Octubre, 2017, 07:09 pm
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Mi solución es muy similar a la de Heriberto:



\( \triangle AFE\textrm{ y }\triangle FMD \) son isósceles por la igualdad de longitudes de las tangentes de un punto a una circunferencia. Como \( \angle FAE = 60^\circ{}\textrm{ y }\angle DMC = 90^\circ{} \), se deduce que \( \angle EFA = 60^\circ{}\textrm{ y que }\angle BFD = 45^\circ{}, \angle EDF = \angle EFA\textrm{ y }\angle DEF = \angle BFD \) pues son ángulos inscritos y semiinscritos abarcando el mismo arco.


Como \( CD = CE\textrm{ y }AF = AE, 2r = AM + CD - AB = 10 + 10\sqrt[ ]{3} - 20 = 10(\sqrt[ ]{3} - 1), r = 5(\sqrt[ ]{3} - 1) cm \). En general, si el lado es \( a \), el radio de las circunferencias es \( r = \displaystyle\frac{a}{4} (\sqrt[ ]{3}-1) \).


Solo destacar que puede inscribirse otra circunferencia de igual radio, tangente a estas dos y a los lados \( AC\textrm{ y }BC \) del triángulo.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)