Hola a todos!
Estaba leyendo en el foro y de repente se me vino a la cabeza un ejercicio de derivadas implícitas que no pude resolver hace unos meses, cuando me lo habían explicado, ni ahora. Menos mal que en el examen no me lo tomaron de idéntica manera
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"Sea la curva \( xy^3 + x^2y + \sqrt[ ]{xy^3} = 3 \). Hallar la ecuación de la recta tangente normal a la curva \( y = f(x) \), con \( f(x) \) definida implícitamente por la ecuación dada, en el punto \( (1, f(1)) \)".Todos los ejercicios que me explicaron no tenían como componente en \( y \) la función evaluada en el punto \( 1 \).
La ecuación de la recta normal es:
\( y = \displaystyle\frac{1}{f'(x_0)} (x - x_0) + f(x_0) \)
\( y^3 + 3xy^2y' + 2xy + x^2y' + \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{y^3}{x}} + \displaystyle\frac{3}{2}\sqrt[ ]{xy}y' + 0 = 0 \)
\( y'(3xy^2 + x^2 + \displaystyle\frac{3}{2}\sqrt[ ]{xy}) + y^3 + 2xy + \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{y^3}{x}}
= 0 \)
\( y'(x) = - \displaystyle\frac{y^3 + 2xy + \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{y^3}{x}}}{3xy^2 + x^2 + \displaystyle\frac{3}{2}\sqrt[ ]{xy}} \)
Sé que \( x_0 = 1 \), pero
¿cómo hallo \( y_0 \)? Porque \( y_0 = f(1) \), no lo entiendo.
Gracias!
