Autor Tema: Demostración productorio

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28 Septiembre, 2017, 03:25 pm
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MatMiki

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 ¿Alguien podría ayudarme con la siguiente duda?:
Sea z cualquier complejo. Deducir a partir de la fórmula \( z^{n-1}+z^{n-2}+\ldots+z+1= \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}\left({z-e^{2*k*\pi i/n}}\right) \) que \( \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}{sen (\pi*k/n)}= n/2^{n-1} \) para todo n natural mayor o igual que 2.
También, hallar \( \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}{cos (\pi*k/n)} \)
Gracias de antemano.

28 Septiembre, 2017, 03:38 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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MatMiki, intenta corregirlo poniéndoles etiquetas <tex> y </tex> antes y después de las fórmulas en \( \LaTeX \) para que resulte legible, sustituyendo los paréntesis angulares por corchetes, o utiliza el botón TEX y escribe la fórmula entre las etiquetas que se insertan.

Yo ahora no puedo mirarlo ya hasta la noche.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

29 Septiembre, 2017, 11:53 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

¿Alguien podría ayudarme con la siguiente duda?:
Sea z cualquier complejo. Deducir a partir de la fórmula \( z^{n-1}+z^{n-2}+\ldots+z+1= \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}\left({z-e^{2*k*\pi i/n}}\right) \) que \( \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}{sen (\pi*k/n)}= n/2^{n-1} \) para todo n natural mayor o igual que 2.
También, hallar \( \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}{cos (\pi*k/n)} \)
Gracias de antemano.

Utiliza que:

\( sin(k \pi/n)=\dfrac{1}{2}(e^{k\pi i/n}-e^{-k\pi i /n})=\dfrac{1}{2}e^{-k\pi i/n}(e^{2k\pi i/n}-1) \)

y aplica la fórmula indicada para \( z=1 \).

Para el coseno es parecido usando la suma en lugar de la diferencia.

Saludos.