[MatMiki]

 ¿Alguien podría ayudarme con la siguiente duda?:
Sea z cualquier complejo. Deducir a partir de la fórmula \( z^{n-1}+z^{n-2}+\ldots+z+1= \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}\left({z-e^{2*k*\pi i/n}}\right) \) que \( \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}{sen (\pi*k/n)}= n/2^{n-1} \) para todo n natural mayor o igual que 2.
También, hallar \( \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}{cos (\pi*k/n)} \)
Gracias de antemano.

[Ignacio Larrosa]

MatMiki, intenta corregirlo poniéndoles etiquetas <tex> y </tex> antes y después de las fórmulas en \( \LaTeX \) para que resulte legible, sustituyendo los paréntesis angulares por corchetes, o utiliza el botón TEX y escribe la fórmula entre las etiquetas que se insertan.

Yo ahora no puedo mirarlo ya hasta la noche.

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

¿Alguien podría ayudarme con la siguiente duda?:
Sea z cualquier complejo. Deducir a partir de la fórmula \( z^{n-1}+z^{n-2}+\ldots+z+1= \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}\left({z-e^{2*k*\pi i/n}}\right) \) que \( \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}{sen (\pi*k/n)}= n/2^{n-1} \) para todo n natural mayor o igual que 2.
También, hallar \( \displaystyle\prod_{k=1}^{k=n-1}{cos (\pi*k/n)} \)
Gracias de antemano.

Utiliza que:

\( sin(k \pi/n)=\dfrac{1}{2}(e^{k\pi i/n}-e^{-k\pi i /n})=\dfrac{1}{2}e^{-k\pi i/n}(e^{2k\pi i/n}-1) \)

y aplica la fórmula indicada para \( z=1 \).

Para el coseno es parecido usando la suma en lugar de la diferencia.

Saludos.