Hola, buenos días... Quisiera saber si alguien conoce esta página http://oeis.org/. Necesito encontrar una relación de recurrencia de la forma \( u_{n+2}=\alpha u_{n+1}+\beta u_n+\gamma \), sabiendo que \( u_n=\dfrac{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^2}{2}-1 \) con \( n\in \mathbb{N}. \) Calcule además, \( \alpha,\beta,\gamma. \)
Es una página muy conocida. Pero está pensada para usarse más bien al contrario, se introducen una serie de términos de la sucesión de enteros y da todas las sucesiones que tiene almacenada que los contienen, con mucha información sobre ellas.
Bueno, la verdad es que yo entro a la pagina y aparece una barra, luego uno ingresa la sucesión, apreto enter y me arroja una serie de datos y de información histórica de matemáticos que supuestamente han investigado esa sucesión, pero la verdad es que esa información no me es relevante, ya que no es lo que ando buscando... No se si Wolfram Alpha también da una relación de recurrencia, pero la verdad es que no se que comando ingresar si pensara hacerlo así.
Para obtener una ley de recurrencia a partir de esa fórmula explícita, en la que supongo que el segundo exponente también es \( n \),, podemos primero buscar la de una sucesión recurrente homogénea, considerando
\( v_n = u_n + 1 =\dfrac{1}{2}(2+\sqrt{3})^n+\dfrac{1}{2}(2-\sqrt{3})^n \)
Esta fórmula explícita corresponde a una sucesión recurrente homogénea de segundo orden, de ecuación característica
\( (r - (2+\sqrt{3}))(r - (2-\sqrt{3})) = r^2 - 4r + 1 = 0 \;\Longleftrightarrow{}\;r^2 = 4r - 1 \)
Esta sucesión verifica entonces la relación de recurrencia
\( v_{n+2} = 4\cdot{}v_{n+1} - v_n \)
Volviendo a \( u_n \),
\( u_{n+2} + 1 = 4(u_{n+1} + 1) - (u_n + 1) \;\Longrightarrow{} \)
\( u_{n+2} = 4u_{n+1} - u_n + 2 \)
Los dos valore iniciales que se necesitan para completar su definición se obtienen de la fórmula explícita. Por ejemplo,
\( u_0 = 0, u_1 = 1 \)
Saludos,
P.S.: No había visto las respuestas anteriores ...