Autor Tema: Pie de la altura

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26 Septiembre, 2017, 09:43 am
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Michel

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En un triángulo ABC sea D el pie de la altura trazada desde A.
Demostrar que \( AD=\displaystyle\frac{b.c}{2R} \), siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

27 Septiembre, 2017, 03:32 am
Respuesta #1

hméndez

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En un triángulo ABC sea D el pie de la altura trazada desde A.
Demostrar que \( AD=\displaystyle\frac{b.c}{2R} \), siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Observando la figura adjunta tenemos lo siguiente:

1. El triángulo ABC y su circunferencia circunscrita.
2. El triángulo inscrito AEC , cuyo lado AE es un diámetro de la circunferencia y por tanto es recto en C. De esto se
    deduce fácilmente que los triángulos AEC y ABD son semejantes por ser rectángulos, con ángulo en E y B iguales
    pues abarcan un mismo arco de circunferencia (arco CA).

Triangulos:

\( ABD\sim{AEC} \)

\( \displaystyle\frac{AD}{b}=\displaystyle\frac{c}{2R} \)

\( AD=\displaystyle\frac{b\times{c}}{2R} \)



Saludos.

27 Septiembre, 2017, 05:26 pm
Respuesta #2

Michel

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De acuerdo hméndez.

Que sigamos colaborando.

Un saludo.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

27 Septiembre, 2017, 06:25 pm
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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Una de las críticas clásicas a los métodos sintéticos es que las figuras pueden ser engañosas y no representar todas las situaciones posibles. Pero para eso está la ¡Geometría Dinámica al rescate!   :laugh: :laugh:

En el siguiente applet de GeoGebra pueden dasplazarse los vértices \( A, B\textrm{ y }C \). Si \( \angle C > 90^\circ{} \), la justificación de Heriberto de que \( \triangle CDA \sim{}\triangle C'BA \) debe modificarse. Pero eso con GeoGebra no es ningún problema hacerlo en la misma construcción. Faltaría el caso en que \( \angle C = 90^\circ{} \), pero con permiso de Michel  :), ese es trivial.


Saludos dinámicos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

28 Septiembre, 2017, 02:26 am
Respuesta #4

hméndez

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De acuerdo hméndez.

Que sigamos colaborando.

Un saludo.

¡Con gusto Michel!

Saludos

28 Septiembre, 2017, 03:35 am
Respuesta #5

hméndez

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Una de las críticas clásicas a los métodos sintéticos es que las figuras pueden ser engañosas y no representar todas las situaciones posibles. Pero para eso está la ¡Geometría Dinámica al rescate!   :laugh: :laugh:

En el siguiente applet de GeoGebra pueden dasplazarse los vértices \( A, B\textrm{ y }C \). Si \( \angle C > 90^\circ{} \), la justificación de Heriberto de que \( \triangle CDA \sim{}\triangle C'BA \) debe modificarse. Pero eso con GeoGebra no es ningún problema hacerlo en la misma construcción. Faltaría el caso en que \( \angle C = 90^\circ{} \), pero con permiso de Michel  :), ese es trivial.


Saludos dinámicos,

Tienes razón Ignacio, ...

En un triángulo ABC sea D el pie de la altura trazada desde A.
Demostrar que \( AD=\displaystyle\frac{b.c}{2R} \), siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Observando la figura adjunta tenemos lo siguiente:

1. El triángulo ABC y su circunferencia circunscrita.
2. El triángulo inscrito AEC , cuyo lado AE es un diámetro de la circunferencia y por tanto es recto en C. De esto se
    deduce fácilmente que los triángulos AEC y ABD son semejantes por ser rectángulos, con ángulo en E y B iguales
    pues abarcan un mismo arco de circunferencia (arco CA).

Triangulos:

\( ABD\sim{AEC} \)

\( \displaystyle\frac{AD}{b}=\displaystyle\frac{c}{2R} \)

\( AD=\displaystyle\frac{b\times{c}}{2R} \)



Saludos.

Creo que así no hace falta considerar casos (revisalo por favor):

Observando la figura adjunta tenemos lo siguiente:

1. El triángulo ABC y su circunferencia circunscrita.
2. El triángulo inscrito AEC , cuyo lado AE es un diámetro de la circunferencia y por tanto es recto en C. De esto se
    deduce fácilmente que los triángulos AEC y ABD son semejantes por ser rectángulos, con ángulo EAC y DAB iguales
    pues al ser AE diámetro de la circunferencia que contiene a A y AD la altura del triangulo correspondiente al vértice A
    estos segmentos son isogonales conjugados del angulo BAC.

Saludos.



28 Septiembre, 2017, 09:27 am
Respuesta #6

Ignacio Larrosa

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Creo que así no hace falta considerar casos (revisalo por favor):

Observando la figura adjunta tenemos lo siguiente:

1. El triángulo ABC y su circunferencia circunscrita.
2. El triángulo inscrito AEC , cuyo lado AE es un diámetro de la circunferencia y por tanto es recto en C. De esto se
    deduce fácilmente que los triángulos AEC y ABD son semejantes por ser rectángulos, con ángulo EAC y DAB iguales
    pues al ser AE diámetro de la circunferencia que contiene a A y AD la altura del triangulo correspondiente al vértice A
    estos segmentos son isogonales conjugados del angulo BAC.


Si, así no hay que considerar casos separados. Pero hay que recurrir al resultado menos inmediato de la conjugación isogonal de radios y alturas, que exige, por lo menos a mi, considerar varias situaciones: Circuncentro y Ortocentro son conjugados isogonales

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)