Hola
En la pregunta dice que la variedad está en \( \mathbb{A}^{10} \). Por eso que intenté resolverlo así, viéndolo en una carta afín dentro de \( \mathbb{P}^{10} \) (y creo que estaría adicionando una variable \( X_0 \)).
Pero eso no acabo de entenderlo. Lo razonable es lo que dices después:
También pensé que como las ecuaciones son homogéneas puedo tomarlo en \( \mathbb{P}^{9} \). En fin, estaba errado
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Como las ecuaciones son homogéneas puedes tomarlo en \( \mathbb{P}^{9} \) y luego trabajar en la carta afín \( x_1\neq 0 \), tomando \( x_1=1 \).
Remplazando \( X_1=1 \) en las primeras 5 ecuaciones conseguía poner \( X_4,X_7,X_9 \) en función de las otras y substituyendo esas variables en las otras dos ecuaciones pues daba 0=0, por eso me quedé solo con las 3.
¡Ah! Perdona no había hecho las cuentas. Pensé que las habías eliminado "porque si", simplemente porque no contenían a la variable \( x_1 \); pero si fue despejando en unas y sustituyendo en las otras entonces están bien eliminadas.
Así que entonces no vas tan errado.
En las ecuaciones que te quedan puedes poner las variables \( x_4,x_7,x_9 \) en función de las restantes, \( x_2,x_3,x_5,x_6,x_8,x_{10} \) (parametrizar tu variedad). Eso quiere decir que tu variedad tiene dimensión \( 6 \), ojo, como variedad proyectiva en \( \mathbb{P}^9 \); por tanto tiene dimensión \( 7 \) como variedad afín en \( \mathbb{A}^{10} \).
Saludos.
