Autor Tema: Dimensión de un conjunto algebraico

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20 Septiembre, 2017, 04:41 am
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Protágoras

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Hola,

Tengo que calcular la dimensión del conjunto algebraico afin contenido en \( \mathbb{A}^{10} \) dada por las siguientes relaciones:

\( X_1X_9+X_5X_6-X_2X_{10}=0 \)
\( X_4X_{10}+X_3X_9-X_6X_7=0 \)
\( X_1X_4+X_2X_3+X_6X_8=0 \)
\( X_8X_{10}+X_3X_5+X_1X_7=0 \)
\( X_2X_7+X_8X_9-X_4X_5=0 \)

Yo intento resolverlo viendo \( \mathbb{A}^{10}\equiv U_{1}=\{X_{1}\neq 0\}\subset \mathbb{P}^{10} \) por lo que reduzco las ecuaciones a:
\( X_9+X_5X_6-X_2X_{10}=0 \)
\( X_4+X_2X_3+X_6X_8=0 \)
\( X_8X_{10}+X_3X_5+X_7=0 \)

Pero no consigo continuar con mi idea.

Les agradezco su ayuda y explicación



20 Septiembre, 2017, 11:29 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Tengo que calcular la dimensión del conjunto algebraico afin contenido en \( \mathbb{A}^{10} \) dada por las siguientes relaciones:

\( X_1X_9+X_5X_6-X_2X_{10}=0 \)
\( X_4X_{10}+X_3X_9-X_6X_7=0 \)
\( X_1X_4+X_2X_3+X_6X_8=0 \)
\( X_8X_{10}+X_3X_5+X_1X_7=0 \)
\( X_2X_7+X_8X_9-X_4X_5=0 \)

Yo intento resolverlo viendo \( \mathbb{A}^{10}\equiv U_{1}=\{X_{1}\neq 0\}\subset \mathbb{P}^{10} \) por lo que reduzco las ecuaciones a:
\( X_9+X_5X_6-X_2X_{10}=0 \)
\( X_4+X_2X_3+X_6X_8=0 \)
\( X_8X_{10}+X_3X_5+X_7=0 \)

Pero no consigo continuar con mi idea.

Pero no es correcto lo que haces; parece que trabajas en \( \mathbb{A}^{10} \). Dado que las ecuaciones son homogéneas de grado \( 2 \), lo que puedes hacer es considerar la variedad como una en \( \mathbb{P}^9 \). La dimensión como variedad proyectiva en \( \mathbb{P}^9 \) sería una menos que la dimensión en \( \mathbb{A}^{10} \).

Después puedes tomar una carta afín, \( x_1\neq 0 \). Pero eso no te permite quedarte sólo con \( 3 \) ecuaciones, sino en las ecuaciones iniciales tomar \( x_1=1 \).

Por lo demás no sé que técnicas te han enseñado para calcular dimensiones de variedades definidas por ecuaciones.

Como primera observación gruesa es claro que dado que son \( 5 \) ecuaciones la dimensión es \( \geq 10-5=5 \).

Por lo demás el procedimiento estándar de cálculo de dimensión es mediante bases de Groebner:

https://en.wikipedia.org/wiki/Dimension_of_an_algebraic_variety#Computation_of_the_dimension

Saludos.

20 Septiembre, 2017, 12:27 pm
Respuesta #2

Protágoras

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Gracias por la respuesta.

En la pregunta dice que la variedad está en \( \mathbb{A}^{10} \). Por eso que intenté resolverlo así, viéndolo en una carta afín dentro de \( \mathbb{P}^{10} \) (y creo que estaría adicionando una variable \( X_0 \)). Remplazando \( X_1=1 \) en las primeras 5 ecuaciones conseguía poner \( X_4,X_7,X_9 \) en función de las otras y substituyendo esas variables en las otras dos ecuaciones pues daba 0=0, por eso me quedé solo con las 3. También pensé que como las ecuaciones son homogéneas puedo tomarlo en \( \mathbb{P}^{9} \). En fin, estaba errado.

Por otro lado, ahora estaba estudiando las bases de Groebner para intentar resolverlo. Pensé que tal vez existía algún otro camino "mágico" para calcular la dimensión en este caso particular (Polinomio de Hilbert, teorema del ideal principal de Krull...¿?).

Bueno, seguiré adelante y contaré después aquí como me fue.

Muchas gracias.

Saludos

20 Septiembre, 2017, 12:43 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

En la pregunta dice que la variedad está en \( \mathbb{A}^{10} \). Por eso que intenté resolverlo así, viéndolo en una carta afín dentro de \( \mathbb{P}^{10} \) (y creo que estaría adicionando una variable \( X_0 \)).

Pero eso no acabo de entenderlo. Lo razonable es lo que dices después:

Citar
También pensé que como las ecuaciones son homogéneas puedo tomarlo en \( \mathbb{P}^{9} \). En fin, estaba errado
.

Como las ecuaciones son homogéneas puedes tomarlo  en \( \mathbb{P}^{9} \) y luego trabajar en la carta afín \( x_1\neq 0 \), tomando \( x_1=1 \).

Citar
Remplazando \( X_1=1 \) en las primeras 5 ecuaciones conseguía poner \( X_4,X_7,X_9 \) en función de las otras y substituyendo esas variables en las otras dos ecuaciones pues daba 0=0, por eso me quedé solo con las 3.

¡Ah! Perdona no había hecho las cuentas. Pensé que las habías eliminado "porque si", simplemente porque no contenían a la variable \( x_1 \); pero si fue despejando en unas y sustituyendo en las otras entonces están bien eliminadas.

Así que entonces no vas tan errado.

En las ecuaciones que te quedan puedes poner las variables \( x_4,x_7,x_9 \) en función de las restantes, \( x_2,x_3,x_5,x_6,x_8,x_{10} \) (parametrizar tu variedad). Eso quiere decir que tu variedad tiene dimensión \( 6 \), ojo, como variedad proyectiva en \( \mathbb{P}^9 \); por tanto tiene dimensión \( 7 \) como variedad afín en \( \mathbb{A}^{10} \).

Saludos.