Autor Tema: Sumatorio aritmético-geométrico

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

09 Septiembre, 2017, 12:34 am
Leído 478 veces

avmath

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 82
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, estoy intentando hallar la expresión del siguiente sumatorio, pero o la estoy liando, o no es una progresión ni aritmética ni geométrica(cosa que estoy dando por hecha):

$$\sum_{i=1}^{n}\left(2^{i-1}\left(n-i+1\right)\right)$$

Gracias y un saludo.

PD: ya he probado con las fórmulas de la progresión aritmética y la geométrica(por probar) pero no sale lo que sale en wolframalpha (por eso pido ayuda).

09 Septiembre, 2017, 12:54 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,913
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Esto te pueda ayudar:

\( \displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{i=1}^n 2^i \cdot (n - i+1) = \dfrac{1}{2} [n \cdot \sum_{i=1}^n 2^i  + \sum_{i=1}^n  i \cdot 2^i + \sum_{i=1}^n 2^i ]  \)

09 Septiembre, 2017, 01:01 am
Respuesta #2

avmath

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 82
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Esto te pueda ayudar:

\( \displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{i=1}^n 2^i \cdot (n - i+1) = \dfrac{1}{2} [n \cdot \sum_{i=1}^n 2^i  + \sum_{i=1}^n  i \cdot 2^i + \sum_{i=1}^n 2^i ]  \)

Hola, y gracias Juan Pablo, mi problema reside en que no sé cómo calcular:
$$\sum_{i=1}^{n}2^{i}i$$

Ya que no es una progresión geométrica, ni aritmética, y no sé como hallar su suma. ¿Qué tengo intentar sacarla por inducción o cómo?

Gracias.

09 Septiembre, 2017, 01:05 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,913
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Una pista:

Sea:

\(  P_n = 1 \cdot x + 2 \cdot x^2 + \cdots + n \cdot x^n  \)

\(  x\cdot P_n = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x^3 + \cdots + n \cdot x^{n+1}  \)

Entonces:

\( P_n - x \cdot P_n = x + x^2 + \cdots + x^n - n \cdot x^{n+1}  \)

Donde \( x \neq 1 \)

Mira este hilo que acabo de encontrar  >:D :laugh: te servirá mucho:

http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/12/series-aritmetico-geometricas/