Es que no se como abordarlos, porque hemos definido la clausura como \( E\cup{E'} \), entonces ya se que el propio conjunto pertenecerá a la clausura, pero como hago para encontrar los otros puntos
Echa un vistazo en
esta respuesta que te servirá de ayuda. En principio deberías buscar los puntos de acumulación de los conjuntos, ver de entre los sospechosos que no están presentes en el conjunto si alguno lo es o no lo es.
Te resuelvo el primero en base a la otra respuesta que te he enlazado. Como \( 0<x\le 1\iff x\in(0,1] \) es un intervalo semiabierto y la función \( f(x):=x+i\sin(1/x) \) es contínua entonces
el único los candidatos a ser
un los puntos de acumulación del conjunto, no presente en el conjunto original, son aquellos que vendrían definidos por los puntos de acumulación del límite (también llamados cluster points) \( \lim_{x\to 0^+} f(x) \), ya que \( [0,1] \) es un conjunto compacto y por tanto la imagen de \( f \) en ese conjunto (si existiese) sería un conjunto compacto, lo que implica que sería cerrado.
Pero como el límite anterior no existe entonces el conjunto es cerrado, es decir, ya posee todos sus puntos de acumulación. Otra forma de verlo más claro es dibujando el conjunto y ver si hay alguna sucesión convergente a un punto fuera del conjunto.
Corrección: el límite de antes posee todo un conjunto de puntos de acumulación \( A:=\{0+i\sin(y):y\in(0,2\pi]\} \). Es decir, se puede comprobar que cualquier punto de \( A \) está arbitrariamente cerca del conjunto \( \{x+i\sin(1/x):0<x\le 1\} \), es decir, el límite \( \lim_{x\to 0^+}f(x) \) define infinitas sucesiones que convergen a los puntos de \( A \).
Repito: dibujando el conjunto se ve todo más claro.