Autor Tema: Topología de los complejos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

07 Septiembre, 2017, 04:33 pm
Leído 1556 veces

lizzma

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 11
  • País: sv
  • Karma: +0/-0
Necesito ayuda con estos problemas

1.Encontrar la clausura en \( \mathbb{C} \) de los conjuntos:

i) \( \{ x + i\sin\frac{1}{x}: 0< x\leq{1}\} \)

ii) \( \{ x + i x \sin\frac{1}{x}: 0< x\leq{1}\} \)

2. Cuáles de los subconjuntos de \( \mathbb{C} \) son conexos

\( A_{1}=\{ z \in \mathbb{C} :\left |{z}\right | \leq{1}\} \cup{\{ z \in \mathbb{C} :\left |{z-2}\right | <1\}} \)

\( A_{2}=\{ x \in \mathbb{R} :0\leq{x}<1\} \cup{\{1 + \frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\}} \)

07 Septiembre, 2017, 05:18 pm
Respuesta #1

Masacroso

  • Héroe
  • Mensajes: 2,154
  • País: es
  • Karma: +4/-0
¿Qué parte no entiendes o qué paso no sabes hacer?

07 Septiembre, 2017, 05:39 pm
Respuesta #2

lizzma

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 11
  • País: sv
  • Karma: +0/-0
Es que no se como abordarlos, porque hemos definido la clausura como \( E\cup{E'} \), entonces ya se que el propio conjunto pertenecerá a la clausura, pero como hago para encontrar los otros puntos

07 Septiembre, 2017, 05:57 pm
Respuesta #3

Masacroso

  • Héroe
  • Mensajes: 2,154
  • País: es
  • Karma: +4/-0
Es que no se como abordarlos, porque hemos definido la clausura como \( E\cup{E'} \), entonces ya se que el propio conjunto pertenecerá a la clausura, pero como hago para encontrar los otros puntos

Echa un vistazo en esta respuesta que te servirá de ayuda. En principio deberías buscar los puntos de acumulación de los conjuntos, ver de entre los sospechosos que no están presentes en el conjunto si alguno lo es o no lo es.

Te resuelvo el primero en base a la otra respuesta que te he enlazado. Como \( 0<x\le 1\iff x\in(0,1] \) es un intervalo semiabierto y la función \( f(x):=x+i\sin(1/x) \) es contínua entonces el único los candidatos a ser un los puntos de acumulación del conjunto, no presente en el conjunto original, son aquellos que vendrían definidos por los puntos de acumulación del límite (también llamados cluster points) \( \lim_{x\to 0^+} f(x) \), ya que \( [0,1] \) es un conjunto compacto y por tanto la imagen de \( f \) en ese conjunto (si existiese) sería un conjunto compacto, lo que implica que sería cerrado.

Pero como el límite anterior no existe entonces el conjunto es cerrado, es decir, ya posee todos sus puntos de acumulación. Otra forma de verlo más claro es dibujando el conjunto y ver si hay alguna sucesión convergente a un punto fuera del conjunto.

Corrección: el límite de antes posee todo un conjunto de puntos de acumulación \( A:=\{0+i\sin(y):y\in(0,2\pi]\} \). Es decir, se puede comprobar que cualquier punto de \( A \) está arbitrariamente cerca del conjunto \( \{x+i\sin(1/x):0<x\le 1\} \), es decir, el límite \( \lim_{x\to 0^+}f(x) \) define infinitas sucesiones que convergen a los puntos de \( A \).

Repito: dibujando el conjunto se ve todo más claro.

07 Septiembre, 2017, 07:13 pm
Respuesta #4

lizzma

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 11
  • País: sv
  • Karma: +0/-0
Gracias, aunque no lo logro ver todavia

08 Septiembre, 2017, 11:15 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,047
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Gracias, aunque no lo logro ver todavia

Concreta las dudas.

Saludos.