Autor Tema: Problema sobre Interpolación de Lagrange

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03 Septiembre, 2017, 10:37 pm
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Francois

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Buenas.
Esta es la traducción de un problema sobre Interpolación.( Es muy extenso  :-[)

Problema
Considera un función \( f \) definida en un conjunto de \( N+1 \) puntos discretos
\begin{equation*}
x_0 < x_1 < \cdots < x_{N}.
\end{equation*}

Queremos derivar una matriz \( (N+1)\times(N+1) \), \( D \) (con elementos \( d_{ij} \)), que cuando se multiplique por el vector de los valores de \( f  \)de los resultados en la derivada de \( f \)' en los puntos. Considerar la interpolación polinomial de Lagrange de \( f \)
\begin{equation*}
P(x)= \displaystyle\sum_{j=0}^{N}y_{j}L_{j}x.
\end{equation*}

Podemos diferenciar esta expresión para obtener \( P' \). Buscamos una matriz \( D \) tal que
\begin{equation*}
Df=P'_{N}
\end{equation*}
Donde, \( P'_{N} \) es un vector cuyos elementos son la derivada de \( P(x) \) en los puntos de la información. Tener en cuenta que la aproximación de la derivada dada por \( Df \) es exacta para todos los polinomios de grado \( N \) o menor. Definimos \( D \) tal que resulta la derivada exacta para todos los polinomios en los puntos\(  N+1 \). Es decir, queremos
\begin{equation*}
D\underbrace{L_{k}(x_{j})}_{\delta_{kj}} = L'_{k}(x_{j}) \ \ \ j,k = 0,1,2, \cdots, N
\end{equation*}

Donde \( \delta_{kj} \) es el delta Kronecker que es igual a:
\[ \delta_{kj} = \left\{ \begin{array}{ll}
         1, & \mbox{si k =j};\\
         0 , & \mbox{si \( k \neq{j} \) }.\end{array} \right. \]
Probar que esto implica que


                                                                                                   \( d_{jk}=\frac{d}{dx}L_{k}|_{x=x_{j}} \) \( (1) \)

Donde \( d_{jk} \) son los elementos de\(  D \). Evaluar el lado derecho de (1) y mostrar que

                                                                                      \( d_{jk}=L'_{k}(x_{j})=\alpha_{k} \displaystyle\prod_{l=0,l \neq j,k}^{N}(x_{j}-x_{i})=\frac{\alpha_{k}}{\alpha_{j}(x_j-x_k)} \ \ \ \text{para} j \neq k \),

y

                                                                                       \( d_{jj}=L'_{j}(x_{j})= \displaystyle\sum_{l=0, l \neq j}^{N}\frac{1}{x_{j}-x_{l}} \ \ \ \text{para} j = k \)



La pregunta es así de extensa.
Espero puedan ayudarme con la idea de solución.

Gracias por la ayuda.
Saludos!

04 Septiembre, 2017, 02:57 am
Respuesta #1

Masacroso

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No entiendo que es \( Df \) ya que \( f \) no es un vector, creo que te refieres al vector de valores \( (f(x_0),\ldots,f(x_n)) \) de la función, ¿verdad?

Por otro lado para hallar la derivada de los polinomios de Lagrange simplemente hay que usar la regla de la cadena del producto, no tiene más misterio (por inducción se puede mostrar que la derivada de un producto de funciones es una suma en la que cada miembro es el producto original a excepción de la derivada de uno de sus miembros). En la respuesta que escribí el otro día en la otra pregunta que hiciste tienes la descripción completa de los polinomios \( L_k \).

Corregido.