Buenas.
Esta es la traducción de un problema sobre Interpolación.( Es muy extenso
)
ProblemaConsidera un función \( f \) definida en un conjunto de \( N+1 \) puntos discretos
\begin{equation*}
x_0 < x_1 < \cdots < x_{N}.
\end{equation*}
Queremos derivar una matriz \( (N+1)\times(N+1) \), \( D \) (con elementos \( d_{ij} \)), que cuando se multiplique por el vector de los valores de \( f \)de los resultados en la derivada de \( f \)' en los puntos. Considerar la interpolación polinomial de Lagrange de \( f \)
\begin{equation*}
P(x)= \displaystyle\sum_{j=0}^{N}y_{j}L_{j}x.
\end{equation*}
Podemos diferenciar esta expresión para obtener \( P' \). Buscamos una matriz \( D \) tal que
\begin{equation*}
Df=P'_{N}
\end{equation*}
Donde, \( P'_{N} \) es un vector cuyos elementos son la derivada de \( P(x) \) en los puntos de la información. Tener en cuenta que la aproximación de la derivada dada por \( Df \) es exacta para todos los polinomios de grado \( N \) o menor. Definimos \( D \) tal que resulta la derivada exacta para todos los polinomios en los puntos\( N+1 \). Es decir, queremos
\begin{equation*}
D\underbrace{L_{k}(x_{j})}_{\delta_{kj}} = L'_{k}(x_{j}) \ \ \ j,k = 0,1,2, \cdots, N
\end{equation*}
Donde \( \delta_{kj} \) es el delta Kronecker que es igual a:
\[ \delta_{kj} = \left\{ \begin{array}{ll}
1, & \mbox{si k =j};\\
0 , & \mbox{si \( k \neq{j} \) }.\end{array} \right. \]
Probar que esto implica que
\( d_{jk}=\frac{d}{dx}L_{k}|_{x=x_{j}} \) \( (1) \)
Donde \( d_{jk} \) son los elementos de\( D \). Evaluar el lado derecho de (1) y mostrar que
\( d_{jk}=L'_{k}(x_{j})=\alpha_{k} \displaystyle\prod_{l=0,l \neq j,k}^{N}(x_{j}-x_{i})=\frac{\alpha_{k}}{\alpha_{j}(x_j-x_k)} \ \ \ \text{para} j \neq k \),
y
\( d_{jj}=L'_{j}(x_{j})= \displaystyle\sum_{l=0, l \neq j}^{N}\frac{1}{x_{j}-x_{l}} \ \ \ \text{para} j = k \)
La pregunta es así de extensa.
Espero puedan ayudarme con la idea de solución.
Gracias por la ayuda.
Saludos!