Autor Tema: Ayuda con inducción

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03 Septiembre, 2017, 02:19 am
Respuesta #10

Ignacio Larrosa

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Hola el_manco, muchas gracias por la aclaración, sinceramente no entendía por qué había probado solamente uno de los casos que había. Pero claro, luego le di vueltas y vi que por transitividad de \( < \), si demuestro que el caso \( n + 1 \) es mayor al \( n \), y el \( n \) era mayor a todos los anteriores (por hipótesis), por transitividad de \( < \) pues ya están probados los demás casos.

Quizás debería haber insistido en ello por claridad, pero es que ya estaba cubierto por la hipótesis de inducción.

La duda que siempre me suele asaltar es, cuando yo supongo la propiedad \( P \) cierta para \( n \), qué tengo que hacer:
  • ¿A partir de lo que he supuesto para \( n \) probar el caso \( n+1 \) ?
  • ¿A partir del \( n+1 \) llegar a lo que he supuesto mediante operaciones bien razonadas?

Es decir yo tengo que probar que:
$$P_n \Longrightarrow P_{n+1}$$
Pero eso no es ni mucho menos equivalente a probar:
$$P_{n+1} \Longrightarrow P_{n}$$

¿Verdad?

Muchas gracias.

No lo que tienes que probar es que \( P_n \Longrightarrow P_{n+1} \), la implicación contraria no tiene porque ser cierta.

Cuando se utiliza una implicación de este último tipo, es en las pruebas por 'descenso infinito', para excluir la posibilidad de que la propiedad en cuestión se cierta. se trata de pruebas por reducción al absurdo. Es decir, se demuestra que si P es cierta para un cierto tamaño del problema, también lo es para uno menor, en algún sentido bien especificado. Si hay un tamaño mínimo, porque los números implicados deban ser enteros y en cada paso se dividen por un número mayor que uno, porque deban ser enteros positivos y en cada paso se decrementan, etc., esto es imposible.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

03 Septiembre, 2017, 02:54 pm
Respuesta #11

avmath

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No te preocupes ilarrosa, intento sacar siempre lo que no entiendo por mí mismo y ya luego, en cualquier caso, lo consiga o no, lo publico para ver si está correcto o no.

Gracias por la aclaración de para qué se usa la otra implicación.

Y como siempre, ¡muchísimas gracias!