Autor Tema: Simétricos de los vértices

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07 Agosto, 2017, 04:46 pm
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Michel

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Sea el cudrilátero ABCD.
Sea P el simétrico de A respecto de B, Q el de B respecto de C, R el de C respecto de D  y S  el de D respecto de A.
Hallar la relación de las áreas de los cuadriláteros ABCD y PQRS.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

19 Septiembre, 2017, 05:23 pm
Respuesta #1

Michel

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Buscando equivalencias de triángulos, se obtiene que (PQRS)=5(ABCD)

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

19 Septiembre, 2017, 06:41 pm
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Buscando equivalencias de triángulos, se obtiene que (PQRS)=5(ABCD)

Mi applet con la solución:



Este problema viene a ser el inverso de este otro:

"Dado un cuadrilátero convexo ABCD:

a) Mostrar que siempre existen puntos W, X, Y, Z tales que Z es el punto medio de AW, W es el punto medio de BX, X es el punto medio de CY, e Y es el punto medio de DZ

b) Mostrar que Área(ABW) + Área(CDY) = Área(BCX) + Área(DAZ)"

Problema 4, competición APICS 2011

APICS 2011 Cuadriláteros

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

21 Septiembre, 2017, 10:43 am
Respuesta #3

Michel

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Numeramos los triángulos exteriores del 1 8.


Designamos (x) el área de la figura x.

(1)=(2) por tener tener bases iguales  (AB=BP) y la misma altura
(1)=(ABD) por tener bases iguales (AS=AD) y la misma altura
Entonces (1)+(2)=2(ABD)

De forma análoga se demustra que (5)+(6)=2(BCD), resultando que (1)+(2)+(5)+(6)=2(ABCD)

Se demuestra también que  (3)+(4)+(7)+(8)=2(ABCD)

Por tanto, (PQRS) será la suma de esos triángulos y el cuadrlátero dado; esto es, 5(ABCD).

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker