Autor Tema: ¿Es Biyec. \(\;\log:\mathbb{C}\backslash\mathbb{R}_0^-\rightarrow\mathbb{C}^*\)?

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31 Julio, 2017, 10:14 pm
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Buscón

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Prueba que la función logaritmo principal establece una biyección entre los conjuntos


\( \mathbb{C}\backslash\mathbb{R}_0^- \)       y       \( \Omega=\big\{z\in{\mathbb{C^*:\,-\pi<\Im(z)<\pi}}\big\} \).



01 Agosto, 2017, 12:08 am
Respuesta #1

Buscón

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Dividiendo el problema planteado en dos partes. Para que sea biyectiva ha de ser inyectiva y suprayectiva.  Yo hice lo siguiente para la primera :

Utilizando la contrarecíproca para la inyectividad,


\( \log:\mathbb{C}\backslash\mathbb{R}_0^-\longrightarrow{\Omega}\;\textrm{ es inyectiva
}\;\Leftrightarrow{\forall\,{w_1,\,w_2}\in{\mathbb{C}\backslash\mathbb{R}_0^-}}.\,\big[\log w_1=\log w_2\Rightarrow{w_1=w_2}\big] \),


efectivamente,


\( \begin{array}{cccc}\log w_1=\log w_2&\Rightarrow&{\log |w_1|+i\arg(w_1)}=\log |w_2|+i\arg(w_2)&\underbrace{\Rightarrow{}}_{igualdad\,compleja}\\\\
&\Rightarrow{}&\begin{cases}\log |w_1|&=&\log |w_2|\underbrace{\Rightarrow{}}_{log.\,reales}|w_1|=|w_2|\\\\
\arg(w_1)&=&\arg(w_2)\end{cases}\end{array} \)


lo cual implica que    \( w_1=w_2 \),    ya que si dos números complejos tienen el mismo módulo y el mismo argumento, entonces son iguales.



Saludos y gracias.


EDITO.

No es correcto esto. Dado que la función logaritmo en los reales es siempre positiva, el conjunto imagen de la

función logaritmo principal de un número complejo es, lógicamente,    \( \mathbb{C}\backslash\mathbb{R}_0^- \),    y su dominio es    \( \Omega \).

03 Agosto, 2017, 12:32 am
Respuesta #2

Buscón

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No consigo aclararme.

Yo diría que la función es


\( f:\underbrace{\big\{z\in{\mathbb{C^*:\,-\pi<\Im(z)<\pi}}\big\}}_{\Omega}\longrightarrow{\mathbb{C}^*\backslash\mathbb{R}_0^-} \),


dada por


\( f(z)=\log(z) \).



Tomando    \( \Omega \)    como el dominio de la función logaritmo principal complejo, para probar que es inyectiva deberemos probar que


\( \forall\,z_1,z_2\in{\Omega}.\,\big[{\log z_1=\log z_2\Rightarrow{z_1=z_2}}\big] \),


entonces,


\( \log z_1=\log z_2\Rightarrow{\log|z_1|+i\arg(z_1)=\log|z_2|+i\arg(z_2)} \),


donde


\( \log|z_1|=\Re(\log(z_1));\;\;\;i\arg(z_1)=\Im(\log(z_1)) \),


\( \log|z_1|=\Re(\log(z_1));\;\;\;i\arg(z_1)=\Im(\log(z_1)) \),


y por lo tanto,    \( \log|z_1|=\log|z_2| \)    y    \( i\arg(z_1)=i\arg(z_2)) \),    lo que implica que    \( z_1=z_2 \).


"Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes real e imaginaria son iguales."


Para probar la suprayectividad deberemos probar que


\( \forall\,{w\in{\mathbb{C}\backslash}\mathbb{R}_0^-}.\;\exists\,{z\in{\Omega}}\;\textrm{ tal que }\;\log z=w \),


o lo que es lo mismo,


\( \forall\,{w\in{\mathbb{C}\backslash}\mathbb{R}_0^-}.\;\exists\,{z\in{\Omega}}\;\textrm{ tal que }\;e^w=z \),


Cita de: Javier Pérez.Cálculo diferencial e integral.
Para que    \( e^w=z \)    es necesario y suficiente que:


   1. \( |e^w|=|z| \),    esto es,    \( e^{Re\,w}=|z| \),    es decir,    \( Re\,w=\log|z| \)    (logaritmo natural del número real positivo    \( |z| \)).

   2. \( Arg(e^w)=Arg(z) \).    Como    \( Im\,w\in{Arg(e^w)} \),    esta igualdad equivale a    \( Im\,w\in{Arg\,z} \);    y esto se cumple si, y sólo si
       
       \( Im\,w=\arg(z)+2k\pi \),    con    \( k\in{\mathbb{Z}} \).

Hemos probado que

\( \{w\in{\mathbb{C}:e^w=z}=\{\log|z|+i\big(\arg(z)+2k\pi\big),k\in{\mathbb{Z}} \)

Por tanto, existen infinitos números complejos    \( w \)    que satisfacen la ecuación    \( e^w=z \).    Cualquiera de ellos se llama un logaritmo de    \( z \).    El

conjunto de todos ellos lo representaremos por    \( Log\,z \).

\( \boxed{\boxed{Log\,z=\bigg\{\log|z|+i\big(arg(z)+2k\pi\big),k\in{\mathbb{Z}}\bigg\}}} \)


así que basta hacer    \( k=0 \)    para probar que es suprayectiva.

Si es inyectiva y suprayectiva es biyectiva    c.q.d.


Saludos y gracias.