Autor Tema: Cal.\([(-4)^i],i^{-3i},[i^{2/\pi}],[i^i],1^{2i},3^{1-i},((-i)^i)^i,(1+i)^{1+i}\)

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31 Julio, 2017, 01:02 am
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Buscón

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Calcula

\( [(-4)^i],i^{-3i},[i^{2/\pi}],[i^i],1^{2i},3^{1-i},\big((-i)^i\big)^i,(1+i)^{1+i} \)



31 Julio, 2017, 01:10 am
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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Calcula

\( [(-4)^i],i^{-3i},[i^{2/\pi}],[i^i],1^{2i},3^{1-i},\big((-i)^i\big)^i,(1+i)^{1+i} \)



Pues ya sabes, hallas su logaritmo como producto del exponente por el logaritmo de la base, operas y hallas el antilogaritmo (elevas \( e \) al resultado).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

31 Julio, 2017, 01:21 am
Respuesta #2

Buscón

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Para el primero me sale esto


\( \begin{array}{cccc}[(-4)^i]=[e^{i\log(-4)}]&=&[e^{i(\log|-4|+i\arg(-4))}]&=&\cancel{[e^{i(\log 4+i\pi)}]}&=&\cancel{e^{i\log 4-\pi+i2k\pi)}}&=&\\\\
&=&\cancel{e^{-\pi+i(\log 4+2k\pi)}}&\color{red}=&\color{red}e^{i(\log 4+i(\pi+2k\pi))}&\color{red}=&\color{red}e^{-(\pi+2k\pi)+i\log 4}
\end{array} \)


No se si es correcto. Un saludo. Gracias.


CORREGIDO Por gentileza de ilarrosa

31 Julio, 2017, 01:51 am
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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\( \begin{array}{cccc}[(-4)^i]=[e^{i\log(-4)}]=[e^{i(\log|-4|+i\arg(-4))}]=[e^{i(\log 4+i\pi)}]=e^{i\log 4-\pi+i2k\pi)}=e^{-\pi+i(\log 4+2k\pi)}\end{array} \)


No se si es correcto. Un saludo. Gracias.

Has puesto el \( 2k\pi \) donde no hacía mucha falta y lo has olvidado donde era imprescindible:

\( z = (-4)^i = e^{i\cdot{}\log(-4)}= e^{i(\log 4 + (\pi + 2k\pi)i)} = e^{-(\pi+2k\pi) + i\cdot{}\log 4} = \left(e^{-(2k+1)\pi}\right)_{\log 4} \)

Un resultado como ves multivaluado, módulos \( e^{-(2k+1)\pi} \) y argumento \( {\log 4} \)

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

31 Julio, 2017, 10:23 am
Respuesta #4

Buscón

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El resto

\( \begin{array}{lcccccr}i^{-3i}&=&e^{-3i\log i}&=&e^{-3i(i\pi/2)}&=&e^{3\pi/2}&.\\\\
[i^{2/\pi}]&=&[e^{2/\pi(\log i)}]&=&e^{2/\pi(i(\pi/2+2k\pi))}&=&e^{i(1+4k)}&.\\\\
[i^i]&=&[e^{i\log i}]&=&e^{i(i(\pi/2+2k\pi))}&=&e^{-(\pi/2+2k\pi)}&.\\\\
1^{2i}&=&\left(1^2\right)^i&=&1^i&=&1&.\\\\
3^{1-i}&=&e^{(1-i)\log 3}&=&e^{(1-i)\log 3+i0}&=&e^{\log 3(1-i)}&.\\\\
\left((-i)^i\right)^i&=&\displaystyle\frac{1}{-i}&=&\displaystyle\frac{1}{-i}\cdot{\displaystyle\frac{i}{i}}&=&i&.\\\\
(1+i)^{1+i}=e^{(1+i)\log(1+i)}&=&e^{(1+i)(\log\sqrt[ ]{2}+i\pi/4)}&=&e^{\log\sqrt[ ]{2}+i\pi/4+i\log\sqrt[ ]{2}-\pi/4}&=&e^{\log\sqrt[ ]{2}-\pi/4+i(\log\sqrt[ ]{2}+\pi/4)}&.\\\\
\end{array} \)




Saludos.


\( \begin{array}{ccccc}(1+i)^{1+i}=(1+i)\cdot{}(1+i)^i&=&e^{\log(1+i)}\cdot{}e^{i\log(1+i)}&=&e^{\log\sqrt[ ]{2}+i\pi/4}\cdot{e^{i\log\sqrt[ ]{2}-\pi/4}}&=\\\\
&=&e^{\log\sqrt[ ]{2}+i\pi/4+i\log\sqrt[ ]{2}-\pi/4}&=&e^{\log\sqrt[ ]{2}-\pi/4+i(\log\sqrt[ ]{2}+\pi/4)}\end{array} \)