Autor Tema: Matrices: hallar número real que satisfaga suma

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06 Agosto, 2017, 06:51 pm
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hexulon

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Muy buenas foro.

Hace un buen rato que vengo luchando con éstas matrices pero estoy comenzando a creer que no es posible su solución.

Las matrices son las siguientes, el ejercicio pide hallar \( \alpha \), \( \beta \) y \( \gamma \) reales tal que Matriz A(\( \alpha \)) + B(\( \beta \)) + C(\( \gamma \)) \( = 1 \)

A=\( \begin{bmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4\end{bmatrix} \) B=\( \begin{bmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 1 & -3 & -5 &  \\ -1 & 3 & 5\end{bmatrix} \) C=\( \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 &  \\ 1 & -3 & -4\end{bmatrix} \)

Lo estoy abordando con sistemas de ecuaciones de 3x3 pero todo me da incompatible.

Hay algún método matricial para resolver éste tipo de ejercicios?

Gracias de antemano.
"Si hay música en tu alma, se escuchará en todo el Universo.." Lao Tse.

06 Agosto, 2017, 07:33 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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Muy buenas foro.

Hace un buen rato que vengo luchando con éstas matrices pero estoy comenzando a creer que no es posible su solución.

Las matrices son las siguientes, el ejercicio pide hallar \( \alpha \), \( \beta \) y \( \gamma \) reales tal que Matriz A(\( \alpha \)) + B(\( \beta \)) + C(\( \gamma \)) \( = 1 \)

A=\( \begin{bmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4\end{bmatrix} \) B=\( \begin{bmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 1 & -3 & -5 &  \\ -1 & 3 & 5\end{bmatrix} \) C=\( \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 &  \\ 1 & -3 & -4\end{bmatrix} \)

Lo estoy abordando con sistemas de ecuaciones de 3x3 pero todo me da incompatible.

Hay algún método matricial para resolver éste tipo de ejercicios?

Gracias de antemano.

No entiendo que es \( A(\alpha) \). ¿El producto de \( A\textrm{ por }\alpha \)? El resultado es entonces una matriz de \( M_{3\times{}3} \) y el \( 1 \) del segundo miembro supongo que debería ser \( I_3 \).

Si fuese así, obtengo \( \alpha=\beta = 1\textrm{ y }\gamma = 0 \).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

06 Agosto, 2017, 08:21 pm
Respuesta #2

hexulon

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No entiendo que es \( A(\alpha) \). ¿El producto de \( A\textrm{ por }\alpha \)?

Si, el producto de cada una de las matrices por un número real cualquiera.

Una vez hallado esos números, multiplicar las matrices y sumar A + B + C y lo que entiendo es que eso de una matriz de valor 1.

No sé bien que es \( I_3 \) sería la inversa de la matriz B multiplicada por 3?

Si multiplico la Matriz A y la Matriz B por 1 no obtengo cambios en ninguna de las dos y al sumarles la matriz C no me quedan los valores en 1. Lo que no estoy seguro es si cada celda debe tomar el valor de 1 en una matriz 3x3 o si la suma total debe ser 1 en una matriz 1x1.

La letra solo indica: "e) Halla \( \alpha \), \( \beta \) y \( \gamma \) reales tales que \( \alpha \)A + \( \beta \)B + \( \gamma \)C = 1"

Yo esperaba que sumando A + B + C me quedara una matriz como la dejo abajo, pero a lo mejor interpreté mal la letra.

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 &  \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \)
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06 Agosto, 2017, 08:36 pm
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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No entiendo que es \( A(\alpha) \). ¿El producto de \( A\textrm{ por }\alpha \)?

Si, el producto de cada una de las matrices por un número real cualquiera.

Una vez hallado esos números, multiplicar las matrices y sumar A + B + C y lo que entiendo es que eso de una matriz de valor 1.

No sé bien que es \( I_3 \) sería la inversa de la matriz B multiplicada por 3?

Si multiplico la Matriz A y la Matriz B por 1 no obtengo cambios en ninguna de las dos y al sumarles la matriz C no me quedan los valores en 1. Lo que no estoy seguro es si cada celda debe tomar el valor de 1 en una matriz 3x3 o si la suma total debe ser 1 en una matriz 1x1.

La letra solo indica: "e) Halla \( \alpha \), \( \beta \) y \( \gamma \) reales tales que \( \alpha \)A + \( \beta \)B + \( \gamma \)C = 1"

Yo esperaba que sumando A + B + C me quedara una matriz como la dejo abajo, pero a lo mejor interpreté mal la letra.

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 &  \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \)

Entiendo que no es un \( 1 \) sino una \( I \), representando a la matriz identidad, en este caso de orden \( 3 \):
\( I_3 = \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

Forma la matriz \( \alpha A + \beta B + \gamma C \) e iguale tres de sus elementos a los correspondientes elementos de \( I_3 \), cuidando que estos últimos no sean todos nulos. Te quedará así un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Sustituye los valores que encuentres para verificar que la igualdad se cumple para todos los elementos.

Saludos,

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
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06 Agosto, 2017, 08:39 pm
Respuesta #4

feriva

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Nada, ya está contestado, llegué tarde

Spoiler


No entiendo que es \( A(\alpha) \). ¿El producto de \( A\textrm{ por }\alpha \)?

Si, el producto de cada una de las matrices por un número real cualquiera.

Una vez hallado esos números, multiplicar las matrices y sumar A + B + C y lo que entiendo es que eso de una matriz de valor 1.



Será una I, la identidad.

Si sumas A+B, se ve a ojo, tienes la identidad, A+B=I, por tanto, una solución es

C(0)=(A+B) -(1)(A+B)

Que es lo que dice Ilarrosa.

[cerrar]

Saludos.

06 Agosto, 2017, 08:46 pm
Respuesta #5

hexulon

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Gracias gente.

Si, es I y no 1 .. la fotocopia está media borrosa y mis ojos ya están a la miseria.

GRACIAS y disculpen por la confusión.
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