Autor Tema: Demuestra que \(\cos\bar z=\overline{\cos z}\)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

28 Julio, 2017, 01:37 pm
Leído 2170 veces

iambo

  • Novato
  • Mensajes: 114
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas,
Lo he resuelto de la siguiente forma que no me convence mucho:

Spoiler
\( \cos\bar z=\cos(a-b\,\text{i})=\cos a\cos(\text{i}\,b)+\sen a\sen(\text{i}\,b) \)

    \( \sen(\text{i}\,b)=\dfrac{e^{\text{i}\,\text{i}\,b}-e^{-\text{i}\,\text{i}\,b}}{2\,\text{i}}=\dfrac{e^{-b}-e^{b}}{2\,\text{i}}=\text{i}\,\dfrac{e^b-e^{-b}}{2}=\text{i}\senh b \)
    \( \cos(\text{i}\,b)=\dfrac{e^{\text{i}\,\text{i}\,b}+e^{-\text{i}\,\text{i}\,b}}{2}=\dfrac{e^{b}+e^{-b}}{2}=\cosh b \)

\( \cos(a-b\,\text{i})=\cos a\cosh b+\text{i}\sen a\senh b=\cos\bar z \)

\( \cos z=\cos(a+b\,\text{i})=\cos a\cos(\text{i}\,b)-\sin a\sin(\text{i}\,b)=
\cos a\cosh b-\text{i}\sen a\senh b\longrightarrow\overline{\cos z}=\cos a\cosh b+\text{i}\sen a\senh b=\cos\bar z \)
[cerrar]

Sospecho que puede salir de alguna forma más sencilla.
¿Alguna sugerencia?

Saludos.

28 Julio, 2017, 02:59 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,270
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Actividades con GeoGebra
Buenas,
Lo he resuelto de la siguiente forma que no me convence mucho:

Sospecho que puede salir de alguna forma más sencilla.
¿Alguna sugerencia?

Otra posibilidad es conjugar el desarrollo en serie.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

28 Julio, 2017, 03:16 pm
Respuesta #2

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,801
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola iambo

A mi me parece bastante buena tu resolución, te pongo otra forma no mejor que la tuya

\( cos(\overline{z})=cos(a-bi)=\dfrac{e^{i(a-bi)}+e^{-i(a-bi)}}{2}=\bf\dfrac{e^{b}e^{ia}+e^{-b}e^{-ia}}{2} \)

\( \overline{cos(z)}=\overline{\dfrac{e^{i(a+bi)}+e^{-i(a+bi)}}{2}}=\overline{\dfrac{e^{-b}e^{ia}+e^{b}e^{-ia}}{2}}=\dfrac{\overline{e^{-b}e^{ia}}+\overline{e^{b}e^{-ia}}}{2}=\bf\dfrac{e^{-b}e^{-ia}+e^{b}e^{ia}}{2} \)


Por lo que \( cos(\overline{z})=\overline{cos(z)} \)


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

29 Julio, 2017, 09:21 pm
Respuesta #3

iambo

  • Novato
  • Mensajes: 114
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Está muy bien Ingmarov, había pensado en algo así pero parece que tengo que soltarme con las propiedades del operador conjugado....

Saludos.

03 Agosto, 2017, 12:50 am
Respuesta #4

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola iambo

A mi me parece bastante buena tu resolución, te pongo otra forma no mejor que la tuya

\( cos(\overline{z})=cos(a-bi)=\dfrac{e^{i(a-bi)}+e^{-i(a-bi)}}{2}=\bf\dfrac{e^{b}e^{ia}+e^{-b}e^{-ia}}{2} \)

\( \overline{cos(z)}=\overline{\dfrac{e^{i(a+bi)}+e^{-i(a+bi)}}{2}}=\overline{\dfrac{e^{-b}e^{ia}+e^{b}e^{-ia}}{2}}=\dfrac{\overline{e^{-b}e^{ia}}+\overline{e^{b}e^{-ia}}}{2}=\bf\dfrac{e^{-b}e^{-ia}+e^{b}e^{ia}}{2} \)


Por lo que \( cos(\overline{z})=\overline{cos(z)} \)


Saludos

¿Como está definido el coseno de un número complejo?

Saludos y gracias.

03 Agosto, 2017, 02:07 am
Respuesta #5

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,801
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

A ver si esto te sirve,

El coseno y seno de cualquier número es

\( cos(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \)

\( sen(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \)



Ambas surgen de la fórmula de Euler,

\( e^{iz}=cos(z)+isen(z) \)


Saludos



No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

03 Agosto, 2017, 02:15 am
Respuesta #6

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

A ver si esto te sirve,

El coseno y seno de cualquier número es

\( cos(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \),    \( (z\in{\mathbb{R}}) \)

\( sen(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \),    \( (z\in{\mathbb{R}}) \)



Ambas surgen de la fórmula de Euler,

\( e^{iz}=cos(z)+isen(z) \),    (para todo    \( z\in{\mathbb{R}}) \)


Saludos


Saludos.

El coseno, geométricamente, es la relación entre la abscisa de un punto y su distancia

desde el origen. ¿Qué es geométricamente el coseno de un número complejo?

03 Agosto, 2017, 03:41 am
Respuesta #7

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,801
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
...


Saludos.

El coseno, geométricamente, es la relación entre la abscisa de un punto y su distancia

desde el origen. ¿Qué es geométricamente el coseno de un número complejo?


Creo que cuando definimos el coseno en los complejos su sentido geométrico se acaba. Es que cuando graficas un número complejo requieres de un plano y el coseno de este número pues, es otro número complejo .


Así que

Hola

A ver si esto te sirve,

El coseno y seno de cualquier número es

\( cos(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\qquad (\bf\color{red}\forall z \in \mathbb{C}) \)

\( sen(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\qquad (\bf\color{red}\forall z \in \mathbb{C}) \)



Ambas surgen de la fórmula de Euler,

\( e^{iz}=cos(z)+isen(z)\qquad (\bf\color{red}\forall z \in \mathbb{C}) \)


Saludos




No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

03 Agosto, 2017, 10:19 am
Respuesta #8

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
...


Saludos.

El coseno, geométricamente, es la relación entre la abscisa de un punto y su distancia

desde el origen. ¿Qué es geométricamente el coseno de un número complejo?


Creo que cuando definimos el coseno en los complejos su sentido geométrico se acaba. Es que cuando graficas un número complejo requieres de un plano y el coseno de este número pues, es otro número complejo .

Resulta que, para    \( arg(z)\in{\{\pi/4+2k\pi\}} \)    se verifica la relación    \( \arg(e^z)=|z|\,\textrm{radianes} \)    así que, el coseno de

\( \arg(e^z) \)    ha de estar relacionado geométricamente con el coseno de    \( \arg(z) \).


Saludos.

03 Agosto, 2017, 03:11 pm
Respuesta #9

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,801
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Buscón

Veamos, si \( arg(z)=\frac{\pi}{4} \) implica que Re(z)=Im(z), entonces z=a+ia, a>0      y      \( |z|=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2} \)


Ahora

\( e^z=e^{a\sqrt{2}e^{i\pi/4}}=e^{a\sqrt{2}(cos(\pi/4)+isen(\pi/4)}=e^ae^{ia} \)

Entonces   \( |e^z|=e^a\qquad \bf arg(e^z)=a{\color{blue}\neq} a\sqrt{2} \)


Pues hay, en ese conjunto, una relación entre |z| y  \( arg(e^z) \) 

Y

\( cos(arg(z))=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)    mientras     \( cos(arg(e^z))=cos(a) \)



No lo veo y ... ya no discutiré sobre esto.

Abre otro hilo para que puedas continuar, ya nos hemos alejado del tema de este hilo.

Saludos


No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...