Autor Tema: Hipérbola

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

11 Julio, 2017, 12:33 am
Leído 808 veces

KurkoVain

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 2
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, tengo un ejercicio de Cónicas, sobre hipérbolas como el tema dice, y empieza así:

Determinar la ecuación de la hipérbola que:
Tiene centro en el origen, eje real paralelo al eje Y, el punto A = (2 ,-2) le pertenece y la recta \( x + 2y = 0 \) es una asíntota.


Yo lo razoné así; como el origen es el centro, puedo empezar a armar la ecuación de la hipérbola de esta forma:

\( -\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1 \)

Luego, como me dan un punto perteneciente a la hipérbola, reemplazo "x" e "y" con los valores de ese punto y despejo una variable, por ejemplo "a" (voy a obviar ciertos pasos para no alargar innecesariamente el procedimiento):

\( -\displaystyle\frac{2^2}{a^2} + \displaystyle\frac{(-2)^2}{b^2} = 1 \)

\( -\displaystyle\frac{4}{a^2} + \displaystyle\frac{4}{b^2} = 1 \)      Resuelvo los cuadrados.

\( -\displaystyle\frac{1}{a^2} + \displaystyle\frac{1}{b^2} = \displaystyle\frac{1}{4} \)      Multiplico ambos terminos por 1/4 y simplifico.

\( -a^2 + b^2 = 4 \)      Invierto ambos términos

\( b^2 = 4 + a^2 \)     Sumo a^2 en ambos términos y simplifico.

\( \sqrt[ ]{b^2} = \sqrt[ ]{4 + a^2} \)      Elevo a la 1/2 ambos términos.

\( b = \sqrt[ ]{4 + a^2} \)      Simplifico.

Como "b" y "a" están en concepto de distancias, puedo obviar el valor absoluto y tomar directamente el resultado positivo.
Después, se que la ecuación de las asíntotas de una hipérbola de eje real vertical (por que es paralelo al eje Y) están dadas por la ecuación:

\( y = \pm{\displaystyle\frac{b}{a}}x \)                    Despejando la ecuación dada por la consigna: \( y = -\displaystyle\frac{1}{2}x \)

Osea que puedo reemplazar en la ecuación de la asíntota que me dieron con el valor de "b" que despejé anteriormente para encontrar "a". como el coeficiente que acompaña a la "x" es el resultado de b/a, entonces puedo igual el coeficiente con el valor de "b" encontrado, sobre "a", para encontrar el valor de "a" (voy a obviar ciertos pasos para no hacer largo el procedimiento):

\( -\displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{4 + a^2}}{a} \)

\( -\displaystyle\frac{1}{2}a = \sqrt[ ]{4 + a^2} \)

\( \displaystyle\frac{1}{4}a^2 = 4 + a^2 \)      Elevo ambos términos al cuadrado y simplifico.

\( -\displaystyle\frac{3}{4}a^2 = 4 \)      Resto a^2 en ambos términos y simplifico.


Y llego a este absurdo, y la verdad dudo que me hayan dado un ejercicio para llegar a ello, y es más, por tanteo en el geogebra ya determiné que la ecuación a la que tengo que llegar es esta:

\( -\displaystyle\frac{x^2}{12} + \displaystyle\frac{y^2}{3} = 1 \)

No se si es mi razonamiento el que está mal o si fué un error tonto de cuentas, es un tema que no se llegó a explicar en la cursada y lo estoy llevando y solo, así que piedad por favor  ;D . Cualquier respuesta me sería bastante útil  ::)
Gracias de antemano por la paciencia para leer todo esto, tardé media hora en escribir xD
Edit: corregidos los Latex de más.
Edit2: Acabo de descubrir que hay una sección de geometría, disculpen por la mala ubicación :S

11 Julio, 2017, 01:20 am
Respuesta #1

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,055
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
...

\( -a^2 + b^2 = 4 \)      Invierto ambos términos

...

Mira lo que haces al invertir, eso no está bien. revísalo.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...